78 Delle Linee e Superficie Parallele. 



Proposizione II. 



Trovare V equazione differenziale delle linee parallele alle 

 date espresse dall' equazione differenziale <p l x,y , \^ I = o . 



Ritenendo le medesime indicazioni delle coordinate sta- 

 bilite nella proposizione antecedente, avrassi dal Corollario 



primo della medesima proposizione y:=.u — ^'.\/ { •"*"() )■> 



ed x = t-^ n (1^) : t/ l i-^\^) )? tli più atteso il paralle- 

 lismo , dovranno le tangenti corrispondenti ai punti a cui 

 competono le coordinate x , 7 , e t -^ u essere parallele tra di 



loro , cioè ( 5~ 1 = ( ù~ l^ come abbiamo dimostrato nello stes- 

 so Corollario ; vale a dire , sussisteranno tra le coordinate delle 

 due linee parallele le quattro equazioni y=u-n'A/ 1 1 -+- (^\ K 



(p lx,y, r^j) = o. Ora ponendo nell' ultima di queste quat- 

 tro equazioni in luogo delle quantità x , / , I — li loro valori 

 cavati dalle prime tre , si ha la sola 



la quale rappresenterà l'equazione differenziale delle linee pa- 

 rallele a tutte quelle rappresentate dalla data <plx,y, \~) l=o, 



cioè a dire T equazione cercata. 



Integrando l' equazione differenziale ottenuta , si avrà 

 l'equazione finita di tutte le linee parallele, e questa con- 

 terrà una costante arbitraria introdotta dalla integrazione, la 



