a4o Saggi di Algebra ec. 



Dunque se h sia una quantità infinitamente piccola, on- 

 de possano trascurarsi le sue potenze superiori alla prima , 

 si ha 



sen . (s-t-A) =: sen . s-t- A cos . z , cos, (z-f-A) =: cos . z — Asen . z : 

 e se in vece di z abbiasi mz , e pongasi z-^h per z , risulta 



«en. (mz-*-mh) =: sen. mz-^-mh oos. mz , cos. ( mz-t-mh) r= cos. mz — mh sen. mz, 



III. Avendosi due quantità finite A, B, si possono tro- 

 vare due quantità infinitesime k,h, tali, che stia A'.B'.'./c'.h. 



Infatti A : B : : - : - . 



00 oo 



Ciò posto sia x^*™ -+-/?.«*'"-" -4- ^.r"'"— * ...-+- ;rj«; -4- C = o 

 e s'indichi per d una quantità prossimamente minore della 

 minima differenza fra le sue risolventi . Avendo riconosciuto 

 coi noti metodi che la proposta non abbia né risolventi egua- 

 li, né risolventi razionali, si ponga ^, a^, 3^ ec. per ar , fino 

 ai limiti delle massime risolventi, positiva e negativa. Se si 

 trova una variazione di segno ne' risultati , fra i numeri so- 

 stituiti per a; vi è una risolvente reale , Suppongasi dunque 

 di non incontrare alcuna variazione di segno , e siccome qua- 

 lunque risolvente della proposta, se esiste, dev'essere imma- 

 ginai'ia, pongasi x = ^{cos.<p-\-sen.(pi/ — i). La trasforma- 

 ta è P -i- Qi/ — I = o , dove 



P = A""cos. 2,m f -t- pX^'"~' cos.(2m— i)(^-t- j/l*""* cos.(a,m— z)tf ...-*- nXcoB. z-t-5 

 QlzA'^sen. 2TO^-f-/>/i'"~' 6tn.(2.m— i ) ji-t- ^^^'"""sen. (ara — 2)0 . . .-t-}t^,sen.(p 



e tutto si riduce a provare che vi è sempre un valore di À 

 e di <^, il quale dà simultaneamente P = o, Q = o. 



Sieno À' , (p' due qualunque determinati valori di À, (^; 

 e P,Q divengano respettivamente P' , Q' . Pongasi À'-ìr-k per 

 À'.,(p'-^Ji per <^', essendo k,h quantità infinitesime: si tra- 

 scurino le potenze di k -, h , superiori alla prima, e chiaman- 

 do P" , Q" ciò che respettivamente divengono F' , Q' , si avrà 

 (n."! e n.°II) 



T" :=?' -t-lzmJi,'*"' cos.amf' -*-(2m— lìpV^"-' cos.(2m— i)^' . . .-4-3T/1'cos./ j-;^ 

 — [27«A'*^sen.3m7i'-H (am— i )/)A'""r' sen.(2m— i )?!' . • .-^-}tX' sen.(f>']h, 



Q" = Q' 



