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q politivi e P' < Q' . Avendosi P" = P' — a , F" = P" _ a 

 = P' — aa, P"" = P"' — a = P" — 3a = P' — 3a, ec. si dee 

 giungere ad un punto in cui si trovi P(")^o, e però esiste 

 un valore di <l e di ^ il quale dia P := o . 



Affinchè le quantità P',Q', mediante i successivi decre- 

 menti svaniscano insieme, si richiede che la maggiore decre- 

 sca per gradi proporzionalmente piti forti; e qualunque sia 

 il rapporto che per quest' effetto dee sussistere fra a ed a' , 

 è certo che tal rapporto è possibile . Pongasi che a' abbia ad 

 a il richiesto rapporto , e risolvendo l' equazioni ( I ) si avrà 

 ii corrispondente valore infinitesimo di A; e di y^ . L' equazio- 

 ni (II) daranno il corrispondente valore infinitesimo di k' e 

 di A' 5 e così in seguito . Spingendo all' infinito la serie delle 

 indicate trasformazioni , si giungerà necessariamente ad otte- 

 nere l'evanescenza simultanea di P e di Q . Dunque vi è 

 sempre un valore di ^ e di ^, che sostituito nell'espressio- 

 ne à.' X verifica la proposta: per conseguenza ogni equazione 

 algebrica determinata ha per lo meno una risolvente reale o 

 immaginaria . 



Articolo III 



Ricerca delle risolventi razionali dell' equazioni di 3 ." ^ 

 4.° e 5.° grado, le quali sieno prive del a.° termine, o tali 

 che il coefficiente di detto termine sìa divisibile pel massimo 

 esponente dell'incognita: dove della estrazione di y/{a±\/b), 

 e della maniera di ottenere i fattori razionali componenti un 

 equazione di 5.° grado, le di cui risolventi sieno tutte irra- 

 zionali . 



§. :. Essendo a;^-i-/?a;-f-^=:0 un'equazione cubica qualun- 

 que, i Geometri hann'osservatOj che quando si ha iq'^-^diP^'^^^ 

 due delle sue risolventi sono eguali . 



Partendo dall'ipotesi contraria, cioè che due risolventi 

 sieno eguali , pongasi 



