Del Sic. Pietro Franchini . 24^ 



x^ -^ pr -^- g = {x^ ±: 2fx -^f^) {xz^ sf) = x^ — 3f^x ^z ìf^ =: o . 

 Risulta — 3/^ =p , zp a/3 = ^ ; quindi /= ]/ — i/? = [/^h= | ? , 

 e fatta la potenza sesta si ha ^q^-^^p^ = o come sopra: si 

 ha inoltre p<^o., altrimenti | g^ avrebbe un valore negativo 

 ed f sarebbe immaginario . 



I criterj coi quali si può decidere dell'eguaglianza di due 

 risolventi eguali di un'equazione cubica delia forma 

 x^ -^ px -h g = o , sono dunque j» = — 3/?2* , ^ = it aw^ . 



Teor. Se due risolventi di un'equazione cubica come so- 

 pra sono eguali , tutte le sue risolventi sono razionali . 



Infatti perchè sia / irrazionale , bisogna che tali sieno 

 ambedue le quantità j/ — ^p,\/^^z^g . Ma il quadrato di 



queste dà il numero razionale — ^pzszi/^ ^g^z= ^y — - = 

 numero irrazionale . Dunque ec. 



yy 



5- a. Non verificandosi i criterj delle risolventi eguali, 

 suppongasi che la proposta abbia una risolvente razionale :!=/", 

 e si faccia 



x^-)-/?^; -1-^= ( :c^ zt/c -f- g ) ( ^ =i=/) = x^ -(- { g — /» ) a; q: g/= o . 

 Il confronto dà g — f^-=.p^ ■z^gf:=.q. Dunque si divida q 

 in due fattori : si prendano per/g, quelli che danno g — p^zf"^, 

 ed il valore di / è la risolvente cercata . 



La riprova de' valori reciproci di q diviene anche più fa- 

 cile e breve, osservando i.° che se p'>o, g dev'essere >-^; 

 e se /> < o , il massimo valor negativo di g dev'essere <,p. 

 a." Che se ^>o il segno di g è contrario a quello dif: 

 è lo stesso se g<,o . Basta avvertire ch& il segno di / si de- 

 sume dall'equazione ipotetica x=:::izf, 



3° Il divisore estremo g rimane escluso quasi sempre, 

 perchè non può essere x-=.-±:q se non abbiasi ji? negativo 

 ed insieme p dt: t un quadrato , dove si ha il segno -4- se q 

 è negativo e viceversa . È questa una conseguenza della so- 

 stituzione di ^ g per X nell'equazione x^ -i-px -t- <^ = o . 



