Del Sic. Pietro Franchini . 2,4? 



La differenza de' quadrati dà fl* — b=:{y^ — t )^ , cioè 

 j* — 1-=^\/ {a^ — b). Affinchè y,t sieno razionali dev'essere 

 a'' — b-=±.h^ cubo razionale. Dunque t = y^^ih^ e l'equa- 

 zione (I) diventa 4/^^ 3A/ — a = o ...(Y); equazione, che 

 se ha luogo la radice ipotetica, dee avere una risolvente ra- 

 zionale, per la di cui determinazione si ricorre al metodo de' 

 divisori . (*) 



5. 5. Prima di prendere in esame l'esposto metodo, ci gio- 

 va stabilire alcune utili verità, ed osservare se possa vantaggio- 

 samente estendei'si ai casi, in cui a -¥■ ^ b non è un cubo. 



I. Siccome deesi avere a* — b-='±:h? tutti i binomj cubi 

 della forma azìi^b sono compresi nella formola a^^la'^zfzh^). 

 Ma una formola di questa natura suppone un'equazione cu- 

 bica z* it: 3hz — aa = o e viceversa . Dunque la ricerca del- 

 la radice cubica esatta di a:iz\/b, e la ricerca di una risol- 

 vente razionale dell'equazione z^±3hz — affl = o . . . (Z) sono 

 due problemi che reciprocamente dipendono l'uno dall'altro. 

 Lo stesso risulta dall'ispezione della (Y), la quale con fare 

 2j = 2 si cangia nella (Z) , e sostituendo il valore di h diyie» 

 ne z^ — 3|/'(a=» — b)y,z — aa = o, equazione da cui deriva 



^=:^{a^l/b)^^{a-i/b). 



Qualunque volta la ricerca del valore esatto di \/ {a-¥-[/^b) 

 debba servire alla soluzione di un' equazione cubica, il meto- 

 do sopra esposto ci riconduce dunque con circolo vizioso al 

 punto da cui siamo partiti . 



IL Se vien data un' equazione cubica qualunque x^-^px-\- 

 q:=zo, che abbia almeno una risolvente razionale, esiste sem- 

 pre la radice cubica esatta del binomio — ^qzìzi/ {^q" — ijP^) 



C) Il metodo proposto dal P. Bosco- 

 vich ( Elem. Univ. Math. T. II, p. i^ò. 

 Venet. 1787 ) sembra del tutto diverso 

 dal precedente , ma se attentamente si 

 considera l'equazione finale del suo cal- 

 colo , cioè u' — 6flu" -♦- ( 276— i5o* )u 

 — 8o^ = Cj si vede ch'ella equivale ad 



un'incomoda trasformata della (Y) . In- 

 fatti con porre jt ::i o -H aa si ottiene 

 o' — 27(a° — i)o — 27 (a' — ì)X 23^0, 

 ovvero , perchè a' — bzizh^ , o^ — s.'jh^o 

 — 20 X !^7^' ^^ o 5 equazione che si can- 

 gia nella (Y) purché si faccia o^a . 3hy, 



