248 Saggi d' A l c e b r a ec. 



sotto la for;:7-a y -^ \/ 1 , poicliè la determinazione di questa 

 radice non dipende che dall'esistenza di una risolvente ra- 

 zionale della (Z) identica colla proposta . (*) 



Qualora il binomio dato sia a -\- [/ — ^, e la { Z ) 

 abbia tutte le risolventi razionali, i tre valori della radice 

 y-^[/t sono immaginar] come dev'essere; e l'imraaginarietà 

 deriva dall'essere t ■= y^ — \^{a^-+-b)^ e ^{a^-^b) sem- 

 pre maggiore del quadrato del massimo valore d'/ . Sappia- 

 mo infatti dalla teoria dell'equazioni cubiche, che nell'equa- 

 zione x^ — px ± q ■= o ^ le di cui risolventi sieno tutte rea- 

 li, è :i;<2|/i/>. Dunque nella (Z) si ha 2='<4^<4|/^(a='-t-^'). 



Ma 2^ = 4/^ . Dunque j^ < |/^( a^ -H è ) . 



III. La formala Cardanica è inutile per determinare le 

 risolventi razionali^ ove si tratti del caso irriducibile . Infatti 

 nulla si ottiene coli' estrazione algebrica della radice cuba, 

 perchè si cade in un circolo vizioso ; a nulla giova il meto- 

 do aritmetico del §. 3 perchè \/ — b non può estrarsi : né le 

 serie derivanti dallo sviluppo della potenza j di a-^[/ — b^ 

 a — [/ — Z» , sono di alcun vantaggio, perchè altio non dan- 

 no generalmente che delle semplici approssimazieni . 



IV. Il valore di \/{a-±i\/b) essendo necessariamente 

 triplice , è impossibile determinarlo con un metodo diretto , 

 il quale sia indipendente da un'equazione di 3." grado. 



V. Essendo a, b numeri intieri, per qualunque valore 



, ,. • T .1 ir aM-t- I / 



lazionale dispari di z si ha j sotto la torma ; , e ^Z i 



[=:/(r--A)] = i/[(=^^-+-')'-4/0 = i/^' PUf-c^^è sia (^ 

 numero dispari. Dunque, sebbene a,b sien numeri intieri, 



può aversi l/la-^\/b\ = -^^^^~—...{l), proposizione gra- 

 tuitamente contradetta da qualche illustre Geometra , e se- 

 gnatamente dal P. Boscovich ( Op. cit. Tom. II ,p. i47 ) • 



(*) Male dunque si appose il P. Bo- non poterit , licci mquatio proposita ra- 



scovich ( Op. cit. p. ì3i ) ove disse ; Sm- tionales radices habuerit . 



pe ai/lem radìcis cubicce extractio haberi . 



