Del Sic. Pietro Franchini. Si55 



può supporsi 

 x^ ->t-px'^ -\-qx-^r=i{x^-^ "ifx^ -»- 3/^jc q=/^ ) ( ^ :±: 3/) , cioè 

 x'^ -'npx'^ ->nqx->r-r=ix^ — bf-x'^ zt 8/^:1? — 3/4 . ^q... ^^^,g > 



Dunque l'equazione data dev'essei'c x'^ — px^±.qx — 7- = o..(A) 

 dove deesi avere — ^ se le risolventi eguali sono negative . 

 Il confronto de' termini dà 



6/-=;;,=t:8/3 = ^, 3/4 = r. 

 Quindi p/| /? = I C^q = 1^5 r , ovvero />^ = i ar , q^ •=. ^ p^ . 

 Queste condizioni, unite con quella che risulta dai segni del- 

 la formola (A) , costituiscono i criterj per distinguere se un' 

 equazione di 4-" grado abbia tre risolventi eguali. Verifican- 

 dosi le predette condizioni si deduce 



x = \/\p-, x — \/lp, x-=}/'^p, x=i—lx/lp. 

 Sia per esempio oò — %\x'^ -H 64^ — 4^ = <^ • 

 Si ha j» < o ed r •< o i ." condizione : poi 



l/'^/»( = a) = ^j^64 = i^i6 . Dunque ar=a,=a,=2,=: — 6. 

 Fatto il confronto di \/iP->\\/(l come al §■ i 5 si trova che 

 y dev'essere un numero razionale. Dunque un'equazione di 

 4.° gradoni che abbia tre risolventi eguali, le ha tutte razio- 

 nali . 



5- 9. Pongasi che le risolventi eguali sieno due, e però 

 x^ -Jr-px'^ •+- <7x -(- r = { x^ ih 2fx -\~f^ )(x^^z %fx ■+■ g ) 

 = .r4_H(g_3/'^).r-=t2(/g-/3)xH-g/- • • • (B). 

 Ne deriva gp = r , ± ^ {fg —p ) = q, g — ^f^ =p , dove 

 i segni inferiori hanno luogo quando le risolventi eguali so- 

 no positive. Dalia i.^f^ = — : la 3." diviene g"" — pg = Zr e 



a S= — 



valore razionale, perchè razionali debbon 

 essere /, g, onde tale sia l'equazione (B) e però la proposta. 

 Trovato g si deduce/ = i/ — , e se i valori di /, g , verifi- 

 cano l'equazione zì= 2. {fg—f^ ) = q , la proposta ha due ri- 

 solventi eguali , il di cui valore è /. Le altre si ricavano da 

 X* hìt a/c -t- g = o . 



