Del Sic. Pietro Fìianohini . 261' 



Articolo IV. 



Si vuol dimostrare , che inoltrando quanto basta la se- 

 rie de' numeri positivi decrescenti A, B, C, D. ec. ottenuti 

 col metodo del Sig. Lagrange^ relativo alla soluzione in nu- 

 meri razionali di un' equazione quadratica indeterminata , si 

 giunge sempre ad un numero eguale all' unità . 



La proposizione enunciata nel titolo dell' Articolo at- 

 tuale, essendo una base del metodo del Sig. Lagrange, e non 

 trovando noi adequata la ragione su cui suole stabilirsi , ci 

 proponiamo di darne una rigorosa dimostrazione: ed affinchè 

 niuno debba cercare altrove la teoria che serve all'intelligen- 

 za del nostro calcolo , riassumiamo qui l' insigne metodo del 

 Geometra Torinese , modificandone in una guisa forse non 

 disacconcia , i dettagli e le simboliche indicazioni . 



Assunta l' equazione generale 



ax^ -¥- hxy -+- cy'^ -f- dx -(- ey -t-y^ o 

 se ne deduca ^ax-^by->r-d-=.\/\{hy-\- dY — 4''(c/°-HejK-(-/)], 

 espressione, che facendo h"^ — ^ac:=.^^bd — 2^ae-=g,d^ — é{af-=.h 

 si cangia in 3,ax-^by-i-d-^i/[By'^-i-2,gy-i- h] . 



Siccome per x , y si vogliono de' numeri razionali^ la 

 funzione B/" -H ag/ -j- Zt dev'essere un quadrato. Sia t^ que- 

 sto quadrato, e moltiplicando per B l'equazione By'^-*-!lgy-^^h=t'^, 

 si avrà By -¥- g ■= [/[Bt^ -h g"" — Bh] . Pongasi g^ — BA = A , 

 l/[ Bi^ -H A ] = M , e non si tratterà che di risolvere l' equa- 

 zione Bt^ -4- A = M* . Trovate tutte le soluzioni di questa in 

 numeri razionali , si hanno tutti i valori d' x , y per mezzo 

 dell'equazioni 



x 



t — by — d u — g 





dove le indeterminate t^u posson prendersi con quel segno 

 che si vuole . 



Avendo ridotti i numeri if , m al medesimo denominatore , 



