Del Sic. Pietro Franchini . a63 



determinato valore di (^ e di ^, per esempio (p = m,tp=:n, 

 si può sempre ( Teoria dell'equazioni indeterm. di i ." gr. ) 

 soddisfare all'equazione m-=.an — Ai/v', dove m , n , k son 

 numeri dati primi fra loro, perchè primi sono (p, tp ed A, ìp ; 

 e dove a , ip' sono due indeterminate . Senza conoscere i va- 

 lori m,n, si può dunque supporre (p =: aip — A^' . Cosi la 

 proposta diviene 



/ £^ )ip — zatprp' -H Aip'^ = o» 

 ed a* — B dev'essere divisibile per A, poiché A, i^ sono pri- 

 mi fra di loro. Sia =A'^^, essendo k'- il massimo qua- 



A. 



drato che può dividere il numero — - — , e 1' e quazione da 



sciogliersi sarà 



A'k'^ip'' — 2at/yi//' -+■ A4>''- = o' . . . . (a) 

 dove A' non contiene alcun fattore quadrato . 



Qualunque sia il valore di a che rende a'^ — B divisibi- 

 le per A , è certo che assumendo un numero qualunque ^ , 

 deesi avere anche (^tAzira)^ — B divisibile per A. Ma nell' 

 espressione ^A ± a si può prendere il segno di a ed il va- 



. . A A 



lore di fi tale, che (lA zìz a cada fra i limiti — , . Dun- 

 que se vi è un valore di a che renda a* — B divisibile per 



A A 



A, debb' esservi un valore di a compreso fra i limiti —, — — , 



A 



ovvero =zh:— , che soddisfi alla medesima condizione; altri- 



menti la proposta non è solubile in numeri razionali . 

 Si moltiplichi l'equazione («) per A'/t^ , e facendo 

 j A'k^ìP — a7p' = (p',ka = o'\....{l) 

 si avrà (p'^ — Bìp'^ = A'o''' . Risoluta questa si ha ^ , i^ , « per 

 mezzo delle ausiliari (I) e della proposta (p^ — Bip^ = Aro"* . 



Osservisi che avendo preso a < — , il numero — — — cioè A', 



'■ 2 A** 



