Del Sic. Pietro Franchini . 267 



si deduce a, il valore arbitrario di ^ dovendo cadere fra i 

 limiti — , . Il 3." quoziente k"K'^ 1 = " ,, j , estraendo- 

 ne il massimo quadrato, dà il valore di A", e quello di a' 

 si ha dall'equazione a" = ^"A" ± a , il valore arbitrario di 



A" A" 

 fi" dovendo cadere fra i limiti — , , e così in seguito. 



Dicasi lo stesso relativamente ai rapporti (b) . Sicco- 

 me le trasformate secondarie (a), (b) ec. sono talmente le- 

 gate fra loro e colle primarie (A) , che prese insieme forma- 

 no un solo ed unico sistema, qualora sappiasi sciogliere una 

 delle (A) , si può risalire alla soluzione delle precedenti sino 

 alla proposta, come dalla a." delle (A) si risalì alla i ." . 



Per mostrare che il metodo esposto effettivamente con- 

 duce alla soluzione del problema, quando questi è possibile, 

 basta dunque provare che fra le (A) ve n'è sempre una, che 

 ammette una sicura e facile risoluzione . A tal effetto noi 

 passiamo a dimostrare i ." che prolungando quanto bisogna 

 la serie delle (A) si giunge ad un'equazione <^\) — Ra''(pj=Qi//°'(p) 

 dove R=:i; a.° che l'equazione ^^(p) — o^^j^) = Q?^^p) ammet- 

 te una sicura e facile soluzione . 



Cominciando dalla a.** proposizione, suppongasi che la 

 trasformata di cui si tratta sia sotto la forma jt^ — t,^ = Ma^. 

 Si sciolga M in due fattori m , m" , che saranno primi fra 

 loro perchè M non contiene alcun fattore quadrato, e si sciol- 

 ga a ne' fattori / , s" , onde si abbia M = m'm" , a = s's" . 

 Risulta {Tc-^t^) {71 — t,) = f^i'm"s''^s"^; equazione a cui si sod- 

 disfa generalmente con fare n: -i- t = rn's'^ , tt — t, = in!' s"^ . 



umdi jr = 5% = — ,a = ss ; lormole che 



danno jt , t^ , a per mezzo de' numeri cogniti ?n' , m" e delle 

 arbitrarie s\ s" ; ed è chiaro che il numero delle soluzioni 

 in questa guisa ottenute, eguaglia quello delle maniere con 

 le quali il coefficiente M si può decomporre in due fattori , 



