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Saggi d' Algebra ec. 



Passando alla proposizione i ." (*) suppongasi di esser giun- 

 ti all'equazione (I) (p^^|,•, — Ro"(p) = Qi//^(,,; dove sia R=o<7, 

 Q>R e tale, che procedendo alla diminuzione di Q median- 



te la forinola 





= Q' si trovi Q' •< R . Noi diciamo che 



se la proposta è solubile , la prima o la seconda trasformata 

 dedotta dall'equazione (I) dev'essere della forma tt^ — t^ = Ma^. 

 La supposizione che sia R =: o < 7 e Q' < R non porta 

 eccezione alcuna alla dimostrazione, perchè l'ipotesi di R>7 

 si liduce a quella da noi assunta, con diminuire i coefficienti 

 Q, R uno dopo l'altro, finché il più piccolo divenga = o <;7, 

 e l'altro sia qual noi supponiamo il coefficiente Q. Infatti 



se Q = 8 , 9 , 



10,11 



IO,, affinchè la formola —rrr— -, dove 



Q/l" 



R 



« < — j dia un numero intiero, deesi respettivamente avere 



R= I , 7,6, 5,4. 



Se Q -< la ed R = o < 7, affinchè la proposta sia riso- 

 lubile, dee potersi dedurre —— - = Q', dove sia Q'< — ; poi 



Z* — R O' 



— — ^ = Q" , dove Q" < — e così ec. fino a Q("— 0, essendo 



Q("— ) tale, che Q(") risulti <R. 



Se finalmente sia Q> 12 ed R>7, s'inoltri la serie 



(*) Il Sig. Legendre ( Thégr. des Nomb. 

 §. 20 ) rende ragione di questa propo- 

 sizione dicendo := La suite des nomhres 

 positifs et décTuissants A , B^ C , D ec. 

 ne saurott aller à l' infini : elle se ter- 

 minerà necessairement par V unite ; ed 

 il Sig. Paoli (Elem. d'Alg. T.I,p. 169) 

 si esprime rosi : Siccome i numeri A, B, 

 C , D ec. formano una serie decrescente 

 di numeri intieri, questa non potrà an- 

 dare all' infinito ., ma sarà sicuramente 

 limitata. Ónde se il problema non am- 

 mette soluzione in numeri razionali , 

 giungeremo ad una condizione impossi- 



bile a soddisfarsi: ma se il problema è 

 risolubile , arriiJ eremo ad un' equazione , 

 in cui uno de' coffficienti sarà un qua- 

 drato ., e risoluta questa potremo rimon- 

 tare retrocedendo sino alla prima. Noi 

 però non restiamo persuasi di un simile 

 ragionamento , perchè in astratto non 

 vediamo impossiliile die la serie A,Bj 

 C,D ec. sia composta di numeri non 

 quadrati , e termini con uno de' numeri 

 3,3; ipotesi nelle quali la serie non 

 dà luogo al conseguimento di un nume- 

 ro = i . 



