38a Metodo di estrarre le Radici numeriche . 



Ho dimostrata la verità di tale operazione tanto nel ci- 

 tato N." la della citata Memoria, come nei numeri ia3, ec. 

 lay dell'Appendice alla mia Algebra Elementare; ma sicco- 

 me colà suppongo noto il calcolo differenziale, e quivi note 

 le serie algebriche; non sarà forse inconveniente, prima di 

 procedere innanzi, l'esporre nuovamente simile dimostrazio- 

 ne, senza supporre le indicate nozioni, ed in un modo per 

 conseguenza più elementare . 



6. Suppongasi 

 A/? -i-B = P„ A/>^-HB/^-t-C = P^, A/?3_t-B/>^-(-C/?-HD = P,, 

 ec, e in generale A/>"-hB/?"~' -+-C/?"~^-»- ec. -+-H/y""~'''-H ec. 

 -)- L/y^ -f- M/7 -t- N = P„ . 



Moltiplichiamo nella P„ ciascun termine successivamente 

 per l'esponente dì p , sì diminuisca l'esponente stesso di un' 

 unità, e i successivi risultati, che ne derivano, s'indichino 

 con la stessa P« , a cui vengano successivamente sovrapposti 

 uno, due 5 tre, ec. apici, cosicché si abbia 

 nkp"-' -+-(«—! ) B/?"-^ -<-{«— iì) Cp"-^ -4- ec. -*- («— ^) H/?''-^— 



-H nhp -H M = V'n 

 n{n—i) A/»"-^ -^{n—\ ) [n—o.) B/?"-^ -h ( « _ 2, ) ( « — 3 ) 

 C;j«-4^_ ec. -+- {n—h) {n—h— i ) Hy/'-'—^ -+- ec . -t- aL = P"« , 

 n{n—i) (« — a) kp''-^^{n—\ ) [n — 2.) ( « — 3 ) B/?«-^ 

 -4-(ra — a)(/z — 3) (a7,_4)C/7'^— 5 -f-ec. -»-(« — /i) {n—h—ì ) 

 (n — h — 2,) Hp"-^-^ -h ec. = P"'„ , ec. 

 e in generale 

 (XXVI) « («— I ) ( 7i — a ) (/i— 3) . . . (« — r-t- 1 ) A/>«-^-H ( «— I ) 



{n—2.){n—S)...{n—r)Bp" ' -^{n—!i)(n—3)(n — 4) .. . 



[n — r—i )C/'"-'^-^-+-ec.-H(/z— A) [n — h—i )(«— A — a)... 

 [n — h — r^i) H/?»-''-' ■+■ ec. = P(0„ . 



In conseguenza di queste supposizioni avremo evidente- 

 mente ' ' ■ • .■-■■-.■■■■ 



P, = A , P", = o 



P'^ = aA/? -+- B , V\ = aA , P'"^ = o 



P'J = 3A/?^-i-aB^-(-(D,P"3 = a.3A^-HaB,P"'3=a.3A,P""3=o, 



ec. • ' : ■ • 



■ . ■ \ ' ■ ■ '.■ ' 



