ì<\6 Sopra un metodo di a?pros3tmazione ec." 



Queste sono le due regole prescritte da Simpson, che egli 

 poi esemplifica in varie equazioni di ogni specie , senza darsi pe- 

 rò verun carico di dimostrarle . Ecco dunque la dimonrazione , 

 olle tie trovammo moltissimi anni addietro , ailorche e' imbat- 

 temmo a leggerle per la prima volta. 



Dimostrazione della regola per il l." CASO , allorché cioè si ha 

 ima sola incognita ed una sola equazione . 



ALhiasi F.a=c, intendendo per F.*- una qualunque funzio- 

 ne di at . Se supporremo /=F.r, avremo 1' equazione di una cur- 

 ya IIMN ( Fii^.' i." ) riferita alle coordinate AP-.r , PM=/ , la 

 quale in qualunque de" punti N ov' essa taglia l'asse delle ascis- 

 se, e dove in conseguenza y=o , darà F.x=c , cosicché AN sa- 

 rà uno de' cercati valori di x, che risolve la propo-^ta equazione 

 F.a:=o. Supponghiamo ora, che si conosca un valore AP di x 

 molto prossimo ad AN^ il quale cioè prossimamente soddisfaccia 

 all' equazione F.r=o , con un piccolo errore , che chiameremo 

 E, cosicché sia F.AP=E. Siccome per ipotesi dev' essere anche 

 F.AP^PM, sarà perciò E=PM . Si differenz] ora l'equazione 

 delia curva y=F.x ; e rappresentando al solito modo con dxF'.x il 



differenziale di F..r , avremo ÌL = F'..r , ed in M ove x=AP, sa- 



là — = F'.AP 5 cioè sarà -j^ eguale al differenziale di F.x diviso 

 per dx , ponendo poscia nel quoziente AP in vece di ;i; , cioè sarà 



^ eguale a ciò che il N. A. chianra A . Ma condotta la Tangente 

 dx ° 



MS , si ha anche ^ = ™L , ossia perchè supponesi il punto P 

 molto prossimo ad N, e perciò 1' archetto MN quasi rettilineo , 

 si ha prossimamente^ = ^. Sostituendo adunque in luogo 



di !^ , e PM i loro valori , cioè A, ed E , sarà finalmente . . . 



dx 



A — 



