Del Sic. Paolo Ruffjni. 3i3 



IV. Se nelLi/~'^(y) = (^^~\y) ( prec. Ili ) gì' Indici e — ci, 

 l — i sono positivi, chiamo il primo di essi e , il secondo k ; che 

 se nno di loro , od amcndue voglionsi negativi, chiamo rispetti- 

 vamente <?, k gì' indici di qua' termini, che sono in corrisponden- 

 za uguali ai due/""" (/'), (\i~'{y'), e che pel ( VI. n.° io ) deggiono 

 esistere in (X) nelle prime due linee orizzontale, e verticale, li nu- 

 mero k poi deve essere > i , perchè se fosse k = 6 , oppure = i , 



ne verrehhe nel primo caso j' =/'^(y) , e nel secondo ^{y') = 



y ' =f (y'), il che per le supposizioni fatte (n.''i4j prec. II, III) 

 non può essere . 



V. Ponendo invece della/' nel primo memhro dellay (y')=^ (y) 

 la quantità/'(y)jenel secondo la ft*(y),ne verrà /'''(y')—*^*(>')j ri- 

 peto in quest' ultima Equazione la sostituzione medesima, e otter- 



remo /' («') =(p"' {y); proseguo l'operazione istessa, e ci risulterà 

 successivamente/'*^(jy')=cp iy')'J ^iy') = ^ {y')-> ec. Dunque in ge- 

 nerale avremo/'^'/) = i^' {y') , essendo r un intero qualunque . 

 Ora per la ragione stessa , c!ie si è addotta nel ( I. n.° o) , tra i 



risultatiy, q)^(y) , (f'^{y') , (p'^iy) ■> ec. ne deggiono esistere degli 

 uguali fra loro ; supposto adunque ^'^ (y) = ® '' ■*' (y) , ne verrà 



(^^ {y) =y ; e per conseguenza la serie y , (^ fy'), ''-f'\y')-, <p (>') , 

 ec. è tale che dovrà in essa proseguendo riprodursi il primo ter- 

 mine y . Supposto pertanto , che <^"' {y) sia il primo termine del- 

 la serie , clic ritorna ■=y' , onde tutti i termini 



siano pel (n.° g ) disuguah Ira loro; gli altri termini, che si ot- 

 terrehhero successivamente , altro non sarebhero, che questi 

 stessi continuatamente replicati ( V, Vi. n.° io. ). Lo stesso si di- 

 ce dei termini j',y%'),y^*(y),/ U') , ec. Dunque a cagione di 

 y "(y) = (0 (jy') , e di cf)"' \y) ■=y , avremo ancor 1' altra serie 



XII) y./(y),/V)'/V)' «^^•/■'"'"V)' 



Tomo XIII. R r la 



