3i6 Alcune puophieta' generali delle fun7:ioni 

 to il discorso del citato ( prec. Vili ) vedremo esistere nella (X) 

 oltre le accennate nei ( prec. Vi , VII ) , ed oltre la terziij altre 

 j — I file, ciascuna delle qnali uguagliasi alla terza . 



Posto k > 3, poiché dalle (XI), (XII) si ha q3*"^^(y) =/(?'(./) , 



<f.=^+'(y) =.r^Hy),9^^'^V)=/V(y),ec. -, replicato il prece- 

 dente discorso , si troverà dover esistere nella (X) oltre le sovrac- 

 cennate altre .« righe , compresavi la quarta , ciascheduna delle 

 quali è ugnale ne' suoi ternani alla quarta medesima. Ora lo stes- 

 so proseguesi sempre a dire , finché si formano le Equazioni 



<^^'^-^[y') =/y-'(y), cp';-'(v') =/ V"-'(y)//^-'(y) =/V-'(y)J 



ec. . Dimque nella ipotesi de' ( prec. II, IV ) le prime k linee oriz- 

 zontali della tavola (X) uguaglieranno corrispondentemente le 

 seconde A, le terze k^ ec. sino alle s — i esìma k . 



i6. Teor. 5.° Se abbiasi 1' Equazione /''(y) =: ^^(y) ■> in cui 

 «, e )3 siano due numeri interi qualsivogiiono ; io dico , che deve 

 esistere sempre un intero j!? , ed un determinato numero // ( XII. 



ri.° io) tale, che abbiasi <j:(y)=/ ^ (y), essendo pel citato (XII. 



ir.''.o)/(y)=y- . . 



Pongasi (r{y) =f"{y') ■ Collocando in questa Equazione inve- 

 ce della jy' nel primo membro la4(y) , e nel secondo la/''(y) , ne 

 verrà (p^U')=y (y) ; replico questa sostituzione, ed avremo q:'(y) 

 =/»'(y); proseguo ad eseguirla, finché l'indice della «p divenga |3, 



e per ultimo risultato otterremo (jD'^(y)=/^"'(y) ; ma per la ipote- 

 si si hacfìV) =/'(/)■' dunque sarà ancora /^""(y) =f{y')- Ora 

 tutte le espressioni aventi la fi3rma/^(y), e di valore = f(y') di- 

 pendono dalla espression generale/' "^"(y) (XII. n.° io ) , men- 

 tre all' intero p , ed alla A' si attribuiscono gli opportuni valori. 



Dunque dalla stessa f'''^''{y') dipendendo ancora la/^-^(y) , dovrà 

 potersi dare tanto alla h' , come all' intero/^ dei valori tali , che 



rendano §x =plì + « , e quindi x = ''-^^ • Dunque ec. 



Cali- 



