33i, Alcune i'ropiijeta' cénera-li delle funzioni 



cliiaiuati :' , C^, ■), S^i . ec. dcgl' interi quali iivoi;lioiu) positivi, io 

 dito, che anche, allunjnaiido abl)iasi.«= a" h c^ u e' . . . , du- 

 vià esistere, come nel (n.^aa) una i'unzione F(jf') tale, che i suc- 

 cessivi risultati F,y),F"(y) , F^(y) , ec. F"'~'iy), ¥"{y} =y' altro 

 noti siano, che tutti gli n valori tra loro diversi dnlla jy . 



Prendasi il valore jy" =fiyj ( n-" 6 ) , e si voglia il numero h 

 dei viloii/'(y') diverso da «, pùichòsegli fosse uguale, avrebbesi 

 tosto /(^') = 1< (y) , e il teorema sarebbe già dimostrato . Posto 



pertanto h< n, ed =::; a" b^ <? J e . . . , prendasi il valore 

 y ' ^= ^'{y) ( b n." i4 ) diverso da tutti i precedenti/^'(y), e sia 



g (Il.n.° i4) < n, ed = a' L'' J d e' .... , avendosi ciascuno 

 degli esponenti «', /i', y\ y , e', eda",|3", j^", \'\ ì' , ec non < o , 

 ed intero; pel (fll. n "ab) non potrà essere questo g né uguale, né 

 summuUiplo di A: potendo però essere con lui composto, e potendo 

 quindi gli esponenti «', |3', y^ S' , »', ce. essere uguali in parte , in 

 paite maggiori , e minori de' corrispondenti «", |3", y\ J", e", ec. 

 suppongo per esempio oC — a" , jS' < p'", y' < j,", J" < cT', é" < ì , 

 ec. , presi tanto in A, come in g i fattori , che hanno gli esponen- 

 ti più piccoli , e presi rapporto ad uno solo degl' indici, per esem- t\ 

 pio rapporto al solo g i fattori, che hanno gli esponenti ugnali , 



poiìgo/ '''• • • = ;r, (s?"" '^ ^' = \. Avendosi quindi 



ie due funzioni ìfi^Cy'). 4-''iy) somministreranno un nutnero, la pri- 

 ma a" </ e* , , . , e la seconda h^ e'' ... di valori della ^ fra loro 

 diversi , e saranno questi due numeri primi fra loro . Ciò dun- 

 que essendo faccio 7r^=p , e la p^y') ci somministrerà pel (n." 2c) 

 un numeio a"' b^" c^" d^\'' . . . . , che dirò /, di valori tra lor dif- 

 ferenti della y; ed a cagione di x' = «", /3" > /3', y" > y\ S' > J" , 

 I > - , satà questo ì maggiore tanto di A, come di g. Ora o vuoi- 

 si i = «, oppure i < n: se i = n, sarà p{y') = F{y'), e rimarrà co- 

 si dimostrata la proposizione: che se i < n, preso un altro valo- 

 re 



