J?4^ Nuovi Teoremi ec. 



]o sarà , se nelT equazione (n) , n essendo pari , si avrà 

 AN(«-.)N{«)>M(«-i)M(/0, ovvero A>E^,'.^> ; invece 



se ra e dispari , dovrà essere jr ■ x-— > A . 



In fiìtti pongasi per abbreviale P per N{«)[N(/2)a-(n)4-N(«— i)] 

 nell' equazione (7) , si avrà x — ^^ = "" —^ , ovvero 



f(^^ = V' A + ':=^" , d' onde H^ = ^A - ^^\ Q essendo 



ciò che diventa P, n cangiandosi in n—\ ; e si ha P > Q , cioè 

 N('0'-*-W+N(/ì)N(ai-i)>N(/z— i)';c(/2— i) + N(aì— i)N(«-2); 



si sostituisca a .r(/z — 1) il suo valore ain—i)~\ — ^, dico che 



N(/z)'x(«)+N(Az)N(ri-i)>^a(/z— i)N(/i-i)H-N(«— 2);N(«— i)-h 



— ^~' - , ovvero per la a' delle equazioni (4) N(«)' a-(^i) + 



N(«)N(/2— r)> N(«)N(«-i) H- !^lZ=l\ cioè N(«)a-(«)>N(«-i) i 

 ciò eh' è evidente : dunque P > Q . 



Sia in primo luogo n pari ; egli è evidente che ^ + -ttqÌ»-^ ; 



dunque in questo caso A >-^^rr ■ ^, _ ■ ^^^ ^ dispari; si avrà 



?^ -+- p^ < ^, ovvero i < (P— Q)y/A , ciò eli' è chiaro , e che 

 si potrebbe anche dimostiare molto facilmente, ma ne sopprimo 

 il calcolo per brevità; dunque A < j-j-- . j^ ^^_ ' • e (n) sarà si- 

 milmente un numero sempre positivo, perchè si avrà nell' equa- 

 zione (i i) M(«)*> ovvero <AN(/7)% cioè ji|^>ovvero< ^A, se- 

 condo che re sarà pari ovvero dispari, conformemente alla dot- 

 trina delle Frazioni continue . 



V. Le equazioni (17) e (18) ci faranno conoscere i valori , 

 che b{n) e c(«) non potranno eccedere ; dulia seconda si ha /-(«) 



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