Del Sic. Fkancesco Pezzi . 547 



<y/A, e quindi la prima a{n)c{n) = 1>{ìì) + l{n+ì) ci dimo- 

 stra, che tanto a{n) , quanto c{//), non potranno inai eccedere in 

 particolare uà . 



VI. Ora poiché ù{n) e c{n) hanno de"* valori determinati , 

 che non possono mai sorpassare , e che la Frazione continua , 

 rappresentando una quantità irrazionale , deve andare all' infi- 

 nito, egli è chiaro che lo stesso valore di b{n) s' incontrerà un* 

 infinità di volte , collo stesso valore di c{n) ; allora i quoti o 

 termini seguenti della Frazione continua , devon essere gli stes- 

 si , e nello stesso ordine disposti , che quelli già trovati ; dunque 

 la Frazione continua , eh' esprime y/A , sarà composta , almeno 

 dopo alcuni termini , di un periodo costante il quale si ripeterà 

 all' infinito . 



VII. Per trovare il primo termine del periodo , suppongo 

 per esempio , che tale primo termine segua immediatamente 

 il termine a{n), e quindi eh' Egli sia a(«-f-i) , e 1' ultimo per es. 

 o.{n-\-m) , dopo il quale, il primo «(/i-i-i) ritornerà . Rappresen- 

 to , come segue , la serie de' termini della Frazione continua , 

 delle frazioni convergenti e de' quoti completi 



Quoti a, ai, aù. , . . a{n) ; «(;;-l-i) , a{n+2) , . . . a{ii-^-m) ; c(w+m+i), ec. 



fonvèr-' ^ ;^ Ma M{n) . M(»+.) t\(n+-2 ) ^Ijn-j-m) . M(n-4-m4-TÌ 



genti No ' Ni ' J\:ì ■» * ' '^pj ' N(„-+.i) ' ìi(„-r-ì) * ' ' ' ^[n^m] ' NtnH-'/:-f-i) '^^' 



Quoti ^_,^ ^X+ht ^/ k+h2. Y'A + //(;O.VA+/y(/z-t-i) VA+''('i+a) J \^l{„-\-w] \/ K + ìin+mA-i] 



pleti I CI ca ' c{n) c[n-i-i) f(n+^) c{n-{-in) ' <;(/;-(- m -f-i) ^'^■ 



Si avrà per l'ipotesi h[n-\-Jn-^ì) ~ h[ri->ri) ^ c{n-\-m-\-i) 

 =c(»4-i), ovvero b{ii-+-m) :=h[ii)^ e c{n-\-m) = c{r?2) ; d' onde se- 



gue , , — : — ■ = - — TI — ■ l dunque anche afa -\-/?r) = a(/i) , 



e a{m-^i) = ai; ora cangiando n in m, nulla si cangia ne' termi- 

 ni delle tre serie precedenti, dunque anche «(/z-f-i) = ai ; dun- 

 que ai è il quoto che incomincia il periodo , e che ritorna sem- 

 pre per il primo, ed in conseguenza il quoto a è fuori del pe- 

 riodo. 



Ciò posto le tre serie precedenti divengono 



Xx a Quo- 



