348 Nuovi Teoremi ec. 



Q'""' "' ai, a-2, a(n) ; o(n + i) ( = «0 , eg. 



genti No ' Ni ' nT " " " I^i") ' N(« + i; ' <^'^- 



Quoti _\M \M+^i[_ VA+Jf. VA-j-/.(»). ^^-'^-^^^"+' Y=j/:^^'V^^^ 



completi 1 ' CI ' ca * ' " c{,n, ' <;("+i) \ <^" / 



Ovvero X, ari, «a, . . . ar(") ì x(;z-l-j) ^=j;i) , ce. 



Ma ^.-^O = a{n)-h-^=:a(n)^^ = a{n) + ^^^1 in 

 virtù deir iiltima delle espressioni (20) ; dalle equazioni (io) e 

 (i i) si ha , £'i=:,3, 00=1 , dunque a;(«) = tì(ra) -V -y ma an- 

 che x{ii) — V . ^+^^^"^ ; dunque b[n) = a{rt) —-«, c(«)= i ; le stes- 

 se equazioni danno 

 K(/z)%) + N(/i^i)c(//) = M(«) 



M(/i)/;(/2) + M(«- 1 )c{n) = AN(«) ^''^ ^ 



Sostituendo ncdla prima di queste due equazioni a l{/i) e c{tì) , 



1 valori di sopra trovati, si ha N{n)fa{n) — a) -+- N(« — i) = M(«), 

 ovvero .(„) - . + ?«;=1) = ^ ; ma Sl=il < , ; d„„<,„e 



a{n) — a è eguale al più grande intiero contenuto in |^' ; ma 



tale intiero è = a (3) : dunque a{n) — a = a ; dunque i valori di 

 a{n) , lj{n) , c{n) , che appartengono all' ultimo quoto sono, 

 a{'j)=z2ci (i3) 



b(n) = a . m) 



c{n) = I (25) 



Dunque x{n) = V^-^f'^-^ = V^^^ = v:^' (^6) 



Inoltre T equazione (io) dà nel caso di c{n) = i 



c{n— 1) =2 A — a'- (ay) 



Osservo che i numeratori de' rotti appartenenti al penulti- 

 mo ed ultimo quoto del periodo , sono eguali , perchè dalle 

 equazioni (ai) e (17) , si ha 



x{?i) = a{a) + ■ ^^„^ ^ r= aa 4- I -^ aa H ^ 



Dtin- 



