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354 Nuovi Teoremi ec. 

 Perchè xin'n) = a(nn)-] i -aa-f — = ^J±l ; ma xi'ùi) = 



1— i-y— ; dunque l>{n'n) = a e c{n'n) = 1 ; dunque le forinole 



(io) e (i i) divengono 



( - if {\N{ti'n—i)^{>i'n)—M(nn—i)Min'n)) — a (41) 



M(/i'/i)' — kìsiiùif = (—1)"" 

 Si sviluppi y/A in frazione continua , a essendo il piìi grande 



intiero contenuto in ^A , e rr-^ la frazione convergente che cor- 



• JN (« /;) " 



risponde, come s' è già veduto , ali' ultimo quoto 0.11 in ogni pe- 

 riodo . 



Tcoiema T. V equazione x'' — Aj* = -!- i è sempre risolubi- 

 le in mi meri intieri di ini' infinità di maniere . 



Perchè 1°, se nello sviluppo di ^/A, si trova n pari , si avrà 



sempre M{nny — A'^{n'ny := ( — 1)""= H- i ; quindi si farà 



x=-M{n'n)^ y = N(«'«). essendo successivamente ri <= i, 3,3, ec. 



2." Se si trova n dispari , si prenda n' pari , e si avrà M(/i'/z)* 



— AN{nnY = (—1)"'" = + 1 , allora x=M{rin) , y= N(«'«) , 

 essendo ?i' un numero qualunque pari . 



Vale a dire che la proposta sarà sciolta in questo caso da i 



termini di tutte le trazioni converiienti icr-ri ■> corrispondenti 



o ^{n II) '■ 



al quoto aa in tutti i periodi di rango pari . 



Teorema II. U equazione x^ — A/' = — i è risolubile in nu- 

 meri intieri di un' infinità di maniere^ se né dispari; essa sarà im- 

 possibile, se n è pari . 



Perche 1°, n essendo dispari , si prenda n' dispari , e si avrà 

 M(nny^Aìi{r'nY={—ìf" = --i, (ixùndi x = M{n'n),y=^{nn), 

 Jì! essendo un numero qualunque dispari . 



Vale a dire che la proposta sarà sciolta dai termini di tutte 



le frazioni convergenti j^'"" , corrispondenti al quoto aa, in tut- 

 ti i periodi di rango dispari . 



a." Se « è pari, si avrà sempre M(At'«)' — AN(ra'/2)'' = ( — i)"" 



