Del Sic. Francesco Pezzi . 355 



= 4-1, quindi non esiste in questo caso alcun valore M{n'ii) di 

 X, e N(/2-'/i) di y, atto a soddisfare la proposta . 



XVIf. Suir esempio di Eulero e di La Grange, LeGendre lia 

 calcolato neli' opera citata 5 una tavola più estesa ed utilissima 



delle più semplici trazioni — che soddisfanno all'equazione m^ — 



An'' =± I per ogni numero non quadrato A da A = 2 sino ad 

 A= loo3 ; e questo Illustre Geometra osserva, che dalla sola in- 

 spezione delle cifre che terminano i nunieii /tz e /?, si scorgerà 

 quale uc' due segni :£ abbia luogo nell' accennata equazione, ma 

 trovo che non è necessario per quest' oggetto di conoscere i nu- 

 meri m e 71, ma solamente la forma pari o dispari di uno di essi , 

 vale a dire, clie supponendo nota la forma pari o dispari di N(n) 



per es. nelT equazione M(/7)' — AN(/z)^ =: ( — i)" (4^) con pochi 

 teoremi determinerò quella di n; cognizione importante, che mi 

 condurrà per una assai breve strada alla soluzione del Problema 

 che mi sono proposto . 



XVIII. Sia pari A=am e pari N(/;)=2;/i', M(7z) sarà necessa- 

 riamente dispari per r irriducibilità della frazione —^ ; quindi 

 M(/i) =: 2.m" -+• I ; pongausi questi valori nell' equazione {^2) , si 



avrà 



:imm" = m"' -h m" + Inb^ 



Ora ~ — -—— non può essere intiero, cioè o , se non quando 



n=z o , ovvero — ad un numero pari ; non v' ha che il secondo 

 caso che faccia al nostro oggetto, quindi si ha il seguente 



Teorema T. Se A e N(n) sono numeri pari, M(n) sarà necessa- 

 riamente dispari, e n pari . 



È A = 2rn = "-^^^±^ 

 N(.) = .^' = N (f ) ( «(-J)'N(^) + .N (^ - I ) ) 



M(/z) =am"+ I = N(-^) (a (^)m(-J) + 2xM (-J- - ,) ) + (-if 



y v 2, Duu- 



