Del Sio. Paolo Ruffini 279 



gli ad uno dei numeri pari o , — 2., — 4, ec; allofa si avran- 

 no a distanza infinita in corrispondenza soltanto due degli ac- 

 cennati punti coniugati. 



Ho detto, che col porre z di valor negativo, siccome ri- 



sulta di valor reale il termine ■ { — z) ^ , mentre si ha 



E' 





p numero dispari, così degglono risultare reali ancora le due 

 serie, che esprimono i valori delle /', /" nelle (II). Sup posto 

 difatti nella (XXVII) e nella (XXVIII) (n.-^ 3i .) /c = 2, L\=i/— H, 

 ed a;[>o, avremo pel cit° ( n.° 3i.) y=X-4-X',7"= X — X', 

 e questi due valori, qualunque numero positivo si sostituisca 

 in vece della x^ saranno sempre immaginar]. Ora posto il va- 

 lor della X positivo e grande, pel (n.° Sg.) esister devono in 

 corrispondenza due radici immaginarie nella data Equazione 

 f[x.y)-=o ( n.° I. )j e tali radici per la natura degl' imma- 

 ginar] potranno, qualunque sia il supposto valore della x , 

 ridursi alla forma Z -i- Z' j/ — f, Z — Z'j/ — i, dove Z, Z 

 sono quantità reali . Dunque , avendosi per approssimazione 

 X-hX'=Z-i-Z' 1/— I, X — X' = Z — Z' i/— I , col somma- 

 re, e col sottrarre queste Equazioni , otterremo prossimamen- 

 te X = Z, X' = Z' [/ — I, e però X sarà quantità reale, ed 

 X' sarà bensì immaginaria, ma riducibile ad una reale molti- 

 plicata in tutti i suoi termini per \/ — i. Ma abbiamo 

 X = L' :»; -K- M' -»- N' a;— -4- P' a;-» -H ec. 



X'=x^ (L'^^M'^x->-4-N' a-=-+-ec.')(n. "Si.). Dunque tut- 

 ti i coefficientij L', M', N', P' , ec. saranno reali, e gli altri 

 L' , M' , N' , ec. si ridurranno alle forme a't/ — i , b' 1/ — i, 



III V V ' 



e' [/ — I, ec. ove a':=|/H, b' , e', ec. siano quantità reali, 

 ed avremo in tal modo con i coefficienti reali i due valori 



y=L'x-HM'-+-N':c— -HP'x-''-i-ec.-i-(a'-H^'':i;— -+-c'x-^-+-ec.);cV— r. 



y'=L'a;-HM'-i-N'a;-'-t-P'x-"M-ec.— (o'-hZ^'x— -i-c'a;-"-»-ec.);t:V— I. 

 Ma posto — X in vece di .r, tai valori divengono 



y=— (L ':*:— M'-hN'o:— -P'a;-^H-ec )—{a!—yx-'-^dx-^—tc .)x^ , 



