Del Sic. Paolo Ruffini 3o5 



uno ne esiste necessariamente, il qual nasce, giusta il metodo 

 della nota ivi apposta, dall' uguagliare il termine m — n-^n /? 

 nella serie (XLI) con uno o più dèi termini , che lo prece- 

 dono ; ed anzi questo valore sarà il massimo, che nelle poste 

 circostanze ( n." 69. ) può ottenere esso /?. 



Preso nella serie (XLI) uno qualsivoglia dei termini che 

 precedono m — n-hn^, in generale il termine m — rW-t-el?, 

 paragono questo a norma dell' indicato metodo con tutti i 

 successivi , tra quali scelgo in generale i tre m — r('')-t-e'/? , 

 m — n-+-n^, m — H*") -1- e" /? . Avendosi pel citato ( n."^ 69 ) 

 e<e<ri<e" , ed rW>e, r^')>e', H"") non <e"; suppongo 

 eznn — b, e =n — b' , é'-=n->nb'\ A')= e ■+■ a= n — b -i- a , 

 A')z=e'-i-a' = n~-b' -¥-a' , ri'^") = e"-ha'=n-¥-b"-i-a", ove sia 

 b'^b">o, è">o, «>o, «'>o, ed a" non <o; e siccome 



l'accennato paragone ci dà per /3 i tre valori /', "'^ ' , 1-ZLL 

 _— , ne verrà il primo — -, = — r, ; ■= 



e — e ' e —e n—b' — (ra — 0) 



l — b' — (a — a') a — a' • i „ J „ n — r'') a j • i ^ 



r-V; = I ; — rr ■> H sccoudo =1 r , ed I ! tcrzo 



b—h b — b n — e b 



rl.")_r<') a— a" ^ , , . a 



e — e 





. Ora abbiamo 4- > f "'„ , perchè es- 



h b-*-b' l 



b-i-b" b b-i-b' 



a — a 



i„ a a(b-^-b") a— a" (a—a")b ■ ,. a 



sendo — = / ' , , ,„ = \--, — ^ , risulta -, , ,„ ^= 



b b{b-^b ) ' i-f-i ' b (b-fnb ) ' b b—b" 



ab"-^'i"b ^ ' , . n—rf') ^ r<'")— r'') 



■ f,,/,_^_i,:<j >o- Dunque avendosi _ < — rr^— , e rappresentan- 

 dosi da m — r(*")-<-e"/? uno qualsivoglia dei termini, che nella 

 serie (XLI) succedono ad m — n -i- n ^ ; ne segue , che tra i 

 valori di ^, i quali risultano dal paragonare m — /-W-ne /? con 



tutti i termini /« — n-^n^, ec. m^, il primo ""|^ - è il piìi 



piccolo di tutti. Suppongasi inoltre, che m — r^')-\-e^ sia 

 tra i termini m — r, m — r'-+-^, m — r"-^2,^, ec. m — A"—') 

 ■+-(rt — 1)(3, che precedono 7n — n-k-n^, quell'ultimo, da cui 

 conviene , secondo il metodo della nota al ( n.° 69) , diparti- 

 re, onde proseguendo innanzi il solito paragone con i termi- 



