,,. Del Sic. Giuliano Fkullani 4^' 



che conviene alla proposta evoluzione rappresentando esso 



solo il differenziale uf""" della funzione —r^ diviso per 



i.a.3....7», e fattovi dopo x=zo , come è facile il convin- 

 cersene differenziando. Vedasi dunque che esistono alcuni ca- 

 si nei quali il Teorema del numero i. è erroneo j e siccome 

 da questo Teorema stesso discendono tutti i resultati che 

 precedentemente abbiamo esposti , cosi questi ancora qualche 

 volta anderanno soggetti ad errore. Convien dunque che per 

 quel Teorema siavi qualche caso di eccezione, appunto come 

 in quello di Taylor; prima per altro di rintracciarlo , sarà uti- 

 le il fare qualche riflessione sopra 1* esempio precedentemen- 

 te trattato , e che ci ha offerto questo paradosso. 



12. 



Allorché ci siamo proposti di svolgere in serie per le po- 

 tenze di X la funzione , noi vi abbiamo prima sosti- 



IIX -*-2,X-*-n 



tutto in luogo di a; e , quindi e ^ ed aggiungendo 



i due resultati, abbiamo ottenuta la quantità 



■■iiil/—i flZ—i — 2ji|/— I —(M/—1 i-i-ncos.aS 



ne ^'^ -f-2e"^ -^n ne ^^ -i-3.e ^^ -t-re ^ 



Il primo membro di questa Equazione rappresenta una serie 

 ordinata per i coseni degli archi multipli di (p, ed è osserva- 

 bile che i due termini di questo primo membro sono identi- 

 camente eguali ; infatti la funzione proposta può mettersi sot- 



to la forma i -H — | x -+- — | 



la quale non varia facendovi le due indicate sostituzioni dif. 

 ferenti , e ci dà in ambi i casi : adesso la funzione 



— ^ può ridursi in serie per coseni degli archi multipli in 



i-t-ncoa-<p ' i o i 



