5oa Sopra la dipendenza tra i differenziali ec. 

 ridurre la funzione qualunque Fcos.(^ in una serie ordinata 

 per i coseni dei multipli di ^ è la ricerca dell' integrale 



— / F COS. (p. COS. mip .d(p tra i limiti (^ = o, (p=7t, essendo 



m un numero qualunque intero, e la evoluzione sempre po- 

 trà così eseguirsi, finché (ig) quell' integrale non abbia un 

 valore assurdo, come imaginario^ o infinito. Tante sono per 

 altro le difficoltà che quella integrazione presenta, che so- 

 vente conviene appigliarsi al metodo delle serie , e la indu- 

 zione facilmente ne ofiFreilmodo, conducendoci alla serie as- 

 segnata nel numero 17. E giacché la occasione se ne offre, 

 ci sia permesso di trattare questo problema con una analisi 

 difFerentissima da quella di semplice induzione da noi ado- 

 prata nelle BAcerche sopra le serie, tanto più che vedremo 

 discenderne anche qualche non ovvio Teorema di Calcolo in- 

 tegrale. 



Sia pertanto proposta la funzione F ( w-f-cos .(^ ) da svol- 

 gersi in serie della forma indicata , in modo che si abbia 

 F(m-t-cos.(^)=A-HA cos.^-hA cos.2(^-f-ec...-+-A cos.ari^-t-ec. 



Ed il termine generale A sarà determinato dalla Equazione 



X 



A =— / F (m-i- COS. (p) COS. x(p. d(p 



integrando tra i limiti (^ = 0, (p-^n . 



Per mezzo dei noti Teoremi che fanno dipendere le differen- 

 ze finite di una funzione dai suoi differenziali j noi abbiamo^ 

 come è noto 



cos.fi , — 



F(m-+-cos.^) = F/«— I -i-e ''"' 



purché sviluppando l' esponenziale nel secondo membro di 

 questa Equazione, in luogo delle potenze di ^^ si sostitui- 

 scano i differenziali dello stesso ordine presi rapporto ad m, 



