5o6 Sopra la dipendenza tra i differenziali ec. 



Il valore di p qui sopra assegnato non è per altro com- 

 pleto , dovendo per esserlo , contenere due costanti arbitra- 

 rie , perchè è dedotto da una Equazione differenziale del se- 

 cond' ordine; ma un poco di attenzione basterà per assicurar- 

 ci che 1' integrale particolare trovato è per il nostro oggetto 



sufficiente. Se infatti considereremo la funzione e svolgen- 



dola in serie per le potenze di a troveremo 



3 _a 3—3 X —X 



'"^°^'<P , acos.ffi flcos.ai . a co . <fi 



' a a. a a.o...x 



Moltiplicando ora per — cos . xip . dip , e prendendo l'integra- 

 le da (p = c a (p = 7i, vedremo che la quantità 



^f 



e COS. x(p.a(p 



ci vien data da una serie della forma stessa che quella già 

 trovata, poiché quando «<x, si ha sempre tra i limiti stessi 



^ J ^o^-*^- 



cos.a;^. cl(p =o 



onde sarà superfluo il completare il valore di j? poiché cosi 

 si indurrebbe nella espressione di b un' altra serie di forma 



X 



assai diversa da quella trovata , e complicata ancora con la 

 trascendente log. a. ( si veda il calcolo integrale di Euler). 

 Per tanto la costante che moltiplicherà questa nuova serie 

 dovrà trovarsi = o. 



Riprendiamo dunque la espressione 



ò =- /e cos.x(6. d(p = h a^'ì \ ■+- —^ 1- -r, — ^"w ; -*" ^c. I 



Resta a determinarsi l' arbitraria A , ed a tale oggetto osser- 



X 



veremo che differenziando rapporto ad a il primo membro di 

 questa Equazione , si ha per resultato 



