5a6 Nuove Considerazioni ec. 



Se di più si cerchino le combinazioni favorevoli allo sta- 

 to n dopo la seconda permutazione , osservando che questo 

 non può essere in verun caso preceduto che dagli stati «-i-i, 

 n, n — I , uno dei quali solamente può aver luogo nella pre- 

 sente ipotesi , cioè lo stato n — i , si troverà il nutnero di quel- 

 le espresso da a(/i — i). 



Poiché si sono ottenute tutte le combinazioni rispettiva- 

 mente favorevoli agli eventi «, n — i, n — a, n — 3 risultanti 

 dalla seconda permutazione , è opportuno il riflettere che 

 questi sono i soli possibili dopo due permutazioni , giacché da 

 un canto é sempre impossibile per la natura del problema 

 uno stato maggiore di « , e dall' altro non si avrà mai dopo 

 due permutazioni uno stato minore di n — 3, non potendo da 

 una permutazione all'altra le palle di una delle due specie 

 decrescere che di un' unità. Ciò posto é chiaro, che se si 

 sommano tutte le combinazioni appartenenti ai detti quattro 

 stati nascerà l'equazione identica ne' suoi membri 

 4(n— I )»(«_2)-i-2(ra— 1 )3-t-8(«— I )»-hre='-f.(«— , )^(„_a)'-t-a(«— i )=«^ 

 come può verificarsi. 



IO. Riesce pure adesso ppr le cose dette facile il trova- 

 re il numero delle combinazioni favorevoli allo stato n — a do- 

 po tre permutazioni. Di fatto riflettendo (n.°8.) che questo 

 non può essere preceduto che da uno dei tre stati n — i , 

 n — a, n— 3, che sono tutti possibili come risultati della secon- 

 da permutazione , basterà per ottenere il numero richiesto 

 gommare le combinazioni favorevoli e corrispondenti ai detti 

 tre stati dopo la seconda permutazione moltiplicate per qu-^l- 

 Je che producono i rispettivi passaggi di essi allo stato n-rS. 

 dalla seconda permutazione alla terza. Secondo questa regola 

 si avrà quindi il numero ricercato espresso da 

 {8(ra— i)»-t-n^)(ra— i)»-f-(4(«— 1)»(«— 2)-Ha(/z— .)')(4(«-a))-H9(/z-i)1/z— a)'= 

 8(rt— 1 )4h_„»(«_ , )^^_ , 6(a— I )^(ra_a)*-+-8(«— i f{n—'x)-^i)[n— i )\n—iY 



formola , che differisce da quella che ritrovò (i) il Malfatti 



(() V Malfatti Mem. citata % a4- i^* 



