242 Sulle funzioni ec. 



strò la Teoiia desunta pure da più ampia dottrina , che ne 

 avea in seguito (i) pubblicata lo stesso Laplace. In questa 

 s-i mostrano rapidamente gli usi importantissimi delle funzio- 

 ni generatrici , ed oltre a quelli notati dal Sig. Paoli , anche 

 gli altri, clie riguardano T interpolazione, e la trasformazione 

 delle serie , Tintegrazione delle equazioni lineari differenziali 

 non meno che a differenziali parziali, rivolgendosi pure (jual- 

 che considerazione alle e([uazioni alle differenze finite tan- 

 to ordinarie , che parziali . Siccome però in quest' ultimo 

 rapporto sembra , che egli non abbia' fatto che accennare i 

 metodi , che conducono alla soluzione dei problemi relati- 

 vi , cosi ho stimato opportuno di esporre nuovamente i prin- 

 cipj fondamentali di tutta la dottrina delle funzioni generatri- 

 ci ad una sola variabile con più estese dimostrazioni di quel- 

 le, che ne diede il Laplace, deducendone l'integrazione delle 

 equazioni lineari a differenze finite ordinarie coi coefficienti 

 costanti, unico oggetto di questa memoria; ed applicandola al- 

 la risoluzione di diversi problemi appartenenti alle serie spe- 

 cialmente ricorrenti, alla dottrina delle combinazioni, alla par- 

 tizione dei numeri, ed al calcolo de' probabili. 



I. Sia y una funzione qualunque di x. Può sempre con- 



cepirsi una tale funzione di ?, che sviluppata secondo le po- 

 tenze di t dia la seguente seiie: 



-T-t-I 00 



y -t-j .t-\r-y .^^-t-r„.r....-i-y .t -f-y- t ....-t-r .t 



O I a 3 X X->r-l 00 



Questa funzione è quella che chiamasi funzione genera- 

 trice dì y , essendo questa variabile il coefficiente di i . Se que- 

 sta serie, per quahuique operazione, che possa farsi sulla me- 



desima , riceva per t un diverso coefficiente , la serie cosi 

 modificata diverrà la funzione generatrice di questo nuovo coef- 

 ficiente. Moltiplicando per esempio la detta serie, che quind' in- 

 fo V. Laplace. Tliéorie Analytique dea probabilités. -Seconde édition. Paris. 1814. 



