Memoria del Sic. Marchese Rangoni a53 



sa secondo le potenze di una data funzione ; e finalmente al 

 ritorno dalla funzione generatrice così sviluppata ai coefficien- 

 ti variabili corrispondenti , divenendo gli esponenti delle po- 

 tenze dello sviluppo gli indici della caratteristica di questi 

 coefficienti. Il passaggio da questi coefficienti alle loro funzio- 

 ni generatrici, e vicei>ersa costituisce il calcolo delle funzioni 

 generatrici di cui restano a vedersi le applicazioni. 



IO. Rischiarata fin qui la Teoria delle funzioni generatri- 

 ci ad una sola variabile seguendo collo stesso ordine le pro- 

 posizioni stabilite dal Sig. Laplace non è difficile di preveder- 

 ne le molte applicazioni ; e si richiede ora mostrarne quelle 

 poche, le quali si riferiscono alla soluzione delle equazioni al- 

 le differenze finite coi coefficienti costanti. 



Sia pertanto l' equazione generale alle differenze coi coef- 

 ficienti costanti a, h., c^d^ec. e col secondo membro nullo, 

 che trattasi di risolvere 



ovvero 



Considerata la funzione ii del n.° i. come generatrice di 

 y , è chiaro per le riflessioni esposte nel successivo n.° a. che 



X 



— " ( 7- -<- i:-^ jì-^ -j^---^—^-^^ sarà la funzione gene- 

 ratrice di — iay -Ji-by ■■■-^fy r^èf -r^py ~*-'77 ) 

 quantità, che può rappresentarsi per — yj . Ora essendo se- 

 condo r equazione proposta y = — VJ ' ^^rà anche y = 



— VJ finché X — m non riceva un tale valore o negativo, 



od anche positivo , per cui secondo le particolari condizioni 

 dei problemi ai quali l'equazione medesima può riferirsi , essa 

 non si verifichi. Prima pertanto che ciò avvenga, si eguaglie- 

 ranno fra loro i termini corrispondenti delle due funzioni 11^ 



— u\ -2- -^ I- -Ir- -^ -\- J— ....~\ ^ JL\ Q per trovare una 



\ t i^ t^ ti t"—' t' I 



