Memoria del Sig. Marchese Rangoni 265 



cata. Sia quindi S la somma della serie (i), la quale eviden- 

 temente si scopre essere espressa da x, S' la somma della se- 

 rie (i), S" la somma della serie (3) presa positivamente, ed om- 

 messo il primo termine. Se si rifletta, che queste serie nasco- 

 no dal dividere all'infinito T unità pe' fattori z — i, [z — lY ^ 

 z — a, fatto poi in seguito 2=1, e che la divisione arrestata al 

 quoziente parziale x*"'"" rispetto allo sviluppo della frazione 



_| ^ lascia generalmente il residuo "*^1 ^ ^J,!^, , ed arre- 

 stata al quoziente parziale a.H-i '''""' nello sviluppo della fra- 

 zione — — lascia generalmente il residuo -^rpr ' ^^ vedrà pure 



essere i=S'(z-2)«-f-iiÌ^-^,edS'=i-(:i-+i)a%a-./*' 



fatto z=i ; e così si avrà i=| S"-+--^ \ [z — a ) n — ^^:p7- , ed 



S"= a — -1. Sarà dunque finalmente S -h S' — S"= x -(- i 

 — (x-f-i).a -f-A-.a H-a — a =o-f-x-t-a(.v — i)a — [x-^ì)± 



=3-t-.i"-t-x.a — 3. a somma cercata, e pure identica a quella 

 che con altro metodo deteruìinò il Brunacci (*). 



i5. Sia ancora V equazione y -\-y — y — •/ =0 ov- 



X-t-i X-f-i X-i-l X 



vero — V — Y -\-y -i-y =0, la quale esprime le coodi- 



zioni di una serie ricorrente in cui un termine qualunque do- 

 po i tre primi che possono prendersi ad arbitrio, eguaglia la 

 differenza tra la somma dei due antiprecedenti prossimi, ed il 

 precedente , e se ne cerchi pertanto la somma. Osservando , 

 che in corrispondenza della formola (A) del n.° ifc. si ha g= — i, 

 p^ — I, (7=1, la funzione generatrice di/ sarà quindi pel n.° 



X 



^^^^^^ ^^_^,l. ._, • Per determinare f'{t) , conviene richiamare „ 



(*) V. Brunacci. Op<Ta e Voi. sopracitati pig. iii. 



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