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le tre progressioni geometriche , ciascuna delle quali ha per 



r^ — ' 1 ■ i, -f 4. • • • • 



primo termine 5 , essendo poi — , -r- , -r- i rispettivi quo- 



zienti , ed in seguito trovare il coefficiente di t nelle altre 

 tre serie, che hanno per primo termine comune l'unità, e per 

 quozienti rispettivi i numeri a, 3,4, essendo ciascuna moltipli- 



cata per la quantità iit — jt -\- t . Cosi si avrà 



r=Tf-^)-(^)-i(5--4')-v('— 7."'-^"") 



— ia.3^-f- 7.3 —3 -H ^ / ,:i.4^_7. 4 -f-4 J = 



7 2_ ^ espressione identica a quella già trovata (i) 



dai Brunacci. 



ao. Prima d'innoltrare alla soluzione di un altro proble- 

 ma è opportuno 1' osservare per maggiore chiarezza e como- 

 dità del calcolo , che esso richiede , come volendo risolvere 



A R 



una frazione della forma ^ — ~ in tre altre ^ 



{-—a)(z—lyì{z—c) " z—a z—b 



-\ , si trova generalmente A = ri , !>=: -; '-- , 



z—c ' o (ci—h) (a— e) (l>—c) {h—a) ' 



e = , _ ' , e quindi supposto^ che a, Z* , e sieno le tre 



radici cubiche dell' unità i , ~'"^*'^~ , ~^—\/ ^ |^ seconda, 



e la terza delle quali si rappresentino eziandio per a, /?, sarà 



in questo caso A = -— , 6 = --;, G z=. -^ come si ricava aven- 



do riguardo alle conosciute proprietà delle radici cubiche del- 

 l' unità. Ciò posto cercasi l'espressione generale del numero 

 dei modi, ne' quali un numero intero x può partirsi in altri 

 tre disuguali sopra x termini della serie de' naturali. L'equa- 



(i) V. Brunacci. Opeia e Vul. citati pag. ili. 



