:28b Sulle Funzioni ec. 



o in quattro parti int<;re e disuguali non sono che casi parti- 

 colari di un' equazione assai più generale. Essa nasce dalla 

 ricerca del numero dei modi ne' quali il numero qualunque 

 intero x può essere la somma di x termini disuguali delle se- 

 rie aritmetica m, m-\-n ^ m-\-ù,n, m-^?m, ec. di numeri in- 

 teri. Se si rappresenti per z la funzione corrispondente, da 



x.x' 



cui ottengasi in ogni caso il numero richiesto, si vedrà facil- 

 mente, che la totalità delle partizioni si dividerà in quelle nel- 

 le quali non entra la parte m, e in ((uelle nelle quali essa si 

 trova. Quanto alle prime esse sono evidentemente altrettante, 

 quante quelle per le quali x — nx può essere la somma di j;' 

 termini qualunque e disuguali della serie, cioè ;: gioc- 



che per ipotesi n dev' essere elemento comune di ciascuna 

 delle X parti. Rispetto poi alle partizioni, nelle quali esiste la 

 parte m esse saranno akrettante, quante quelle per le quali 

 X — ?n può essere la somma di x — i termini della serie fra i quali 

 non entri la m, ossia per ciò che si è detto prima, altrettante, 

 quante sono quelle per le quali il numero x — in — n [x — i) 

 può essere la somma di x — i termini qualun<{ue purché di- 

 suguali della serie, cioè z , e si avrà cosi l'equa- 



x^m~a(x'-—i).x' — I 



zione z ,■= z -h-z 1 a quale, fatto 7«^?j=i 



x.x X — nx'.x' X — m — n(x' — \),x' — i 



diviene s =-z , -+-z in cui z rappresenta il nn- 



x.x' X — r ,j . T — r',x' — I x,x' 



mero de' modi, ne' quali il numero qualunque x può essere 

 la somma di x termini disuguali della se.rie de' numeri na- 

 turali. Dunque fatto successivamente .r=a, ^3, =4, sarà pri- 

 mieramente z — z z=z ovvero z — z =z , che 



i',2 jr^a,2 X — -2,1 jr-f-a,i 2-,a x ,l 



ha lo stesso significato di quella che fu stabilita al n.' 18, 

 giacché é evidente essere z = i . Così si avranno pure le 



.ir.i 



equazioni z — z =^3 ,ez — z = z , che sono le 



x-i-'ìj X ì x.ù, ■'^-•-4>4 ^A ^>^ 



stesse di quelle che rispettivamente fiuono poste nei n.' 20. 

 aa. L' equazione poi z =z , -1-3 , esprime 



r..r' r — nx' ,x' x — m — n(x'«"i),r' — i 



