Memoria del Sic. Marchese Raistgoni aSq 



combinazioni ad w-t-i ad rn-^i nelle quali entra la d escluse le 

 «, b, e. Coutnuiando pure la stessa analisi, si troverà il nu- 

 mero delle combinazioni ad m-Hi ad w-Hi, nelle quali entra 

 una qualunque delle cose indicate esclusivamente a tutte le 

 precedenti a, è, e, d ec. espresso da uno de' termini della in- 

 dicata serie corrispondentemente retrocedendo dall' ultimo, co- 

 sicché quando si giungerà alla cosa (:*:-+- 1)''^""* secondo l'ordi- 

 ne divisato, la quale, escluse tutte le precedenti, deve anco- 

 ra combinarsi insieme alle altre rn ad m -hi ad m-¥-i si tro- 

 verà , che il numero delle combinazioni corrispondenti è lo 

 stesso che quello delle combinazioni di m cose ad w ad m 

 cioè I, che è il primo termine della serie proposta. Sarà quin- 

 di esaurito il total numero delle combinazioni di x -i- m -\- i 

 cose ad m -t- i ad m -i- i colla somma della serie medesi- 

 ma, e sapendosi d' altronde, che detto numero è espresso da 



-^^ — '- '- — ■ . esprimerà esso pure la somma 



i.2....(m — i)(m)(m-l-i) ' '■ ^ 



della serie. Ciò si evince eziandio sottraendo da questa espres- 

 sione quella che nasce ponendo in essa x in luogo di a-t-i , 

 o ciò che è lo stesso x — i in luogo di x, con che si ha 



(a:-t-m-t-i)(x-+-m)(.r-*-m — i)..,(j-t-i) (r-t-m)(.r-t-m — ì)(x-t-m—i) . . . . x 



1.2.. .(ili — 1 )( m){ m-f- 1 ) 1.2... ..{m — ì}{rn){in-i-ì) 



(x-t-m)(x-\-m — I )(■'-•-'" — 2)....(.r-t-i) i - 'i j. • i in 



7 ; — ■ — ^ , che e il termine generale della 



i.2.....{m — i)in '^ 



serie proposta. 



Il lemma precedente conduce a determinare il coefficiente di 



X , X "• r^- 



t in ( I -t-^-H^»-+-^^-l_2^ _(_/ -t-ec.) . Si ponga perciò «= i, 



ed allora si vede essere i il coefficiente di ^ . Si faccia an- 

 cora il = '2 e si vedrà essere ( i -{- t -+- i^ -k- i^ -i- ec. Y = 



i-+—22'-(-3#'-+-4#^-4-ec., e quindi .r-+-i sarà il coefficiente di t . 

 Così pure se «=.3 sarà in ( \-ht-Ht^-t-t^-i-ec. f il coefficiente 



Ai t = I -Ha -t- 3 -H -t- (a- -H I ) = '"^'l "^' ■ , che appai> 



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