Memoria del Sic. Marchese Rangoni 3o3 



altrettante probabilità parziali componenti colla lor somma il 

 valore di z quante sono le unità in n — i. Indicando ora per P 



X 



fiimo 



la probabilità^ che il giuocatore superato nel colpo x — «-t-i 

 abbia vinto precedentemente a questo m colpi di seguito, es- 

 sendo 7Ji non <i, e non >/? — i , P X — ; esprimerà general- 

 mente la probabilità pai'ziale del terminarsi la partita al col- 



eiimo . . esimo 



po X . Ma se la partita termmasse col colpo x — /n sa- 



rebbe z = P X njz:^ ^ e V=z .2 , poiché se il giuo- 



-T — m 

 esimo 



catore superato al colpo x — ra-t-i avesse continuato a vin- 

 cer sempre, la partita sarebbe terminata m colpi prima, per- 

 ciò r esposta probabilità parziale sarà espressa da '^~™ ; 



e facendo m successivamente =1, =:2, :^3, ec. ^az — i, e som- 

 mando le probabilità parziali, che ne derivano, si avrà anche 

 secondo le cose già dette 



Ora si vede che indicando per u la funzione generatrice dì z , 



X 



quella di— z -i- — z -+- -^ z -t-ec.-f 



^ jc—i 2» ;j.— a ^* 2:— 3 21» ■ x—n-fi 



deve essere u l— t-\- -^t^-i--^t^.... -+- '_, t |, e queste due 

 funzioni sarebbero pure eguali se l'equazione proposta sussistes- 

 se per ogni valore di x. Ma quando x=^n si ha z = — ^;^, 



n 

 esimo 



perchè dovendo finire la partita col colpo n qualunque 



sia il giuocatore che vinca nel primo, essendo pur certo, che 

 di due giuocatori che cominciano il giuoco l' uno dee vince- 

 re avendo inoltre a suo favore la stessa probabilità che ha 

 l'altro, basterà perciò, che quegli che ottiene favorevole il 

 primo colpo ottenga anche gli ?i — i successivi , e quindi la 



