66o Sulle Funzioni Generatrici 



In essa il coefficiente di t t' , che rappresenta quello in 

 generale del prodotto di due potenze qualunque di t^ t' è y 



siccome la stessa funzione generatrice non è che lo sviluppo di 

 tutte le combinazioni , che possono farsi di tutti i valori pos- 

 sibili degli indici x-+-/« , a' -)-/«', e de' corrispondenti esponen- 

 ti di i, t' in una funzione generalmente rappresentata da 



y .ti , nella quale tanto x, x\ quanto /?z, ni 



x-*-m , x'-^-m' ^ '■ 



possono ricevere tutti i valori interi da zero inclusivamente 

 air intiiiito . Ora è da notarsi , che la sovraesposta funzione 

 generatrice può considerarsi composta di a: -i- i funzioni ge- 

 neratrici ad una sola variabile secondo le diverse linee oriz- 



a d CL ^' . 



zontali contrassegnate (i) , (2) , (3) . . . . (ar -4- i) in ognuna 

 delle quali cioè l'indice corrispondente al valore di x-\-m è 



a 



costante. Così nella linea (i) è sempre j;'=:m'=o, mentre il 

 valore di x-\~m cominciando da o cresce ad ogni termine al- 

 l'infinito per la differenza i, Pi'endendo poi altrettante file 

 verticali, rispettivamente composte dei primi, secondi ec. ter- 

 mini delle orizzontali, la funzione generatrice a due variabili 

 si considera pure divisa in funzioni generatrici ad una sola 

 variabile in ciascuna delle quali l'indice del valore x -¥- ni 

 varia ad ogni termine per la differenza i, mentre è costante 

 r indice del valore di x-\-m. Ciò posto la funzione generatri- 

 ce può presentarsi in un aspetto più semplice solo che si ri- 



fletta come y .t f^^y .t esprimendo il termi- 



ne generale della funzione generatrice in cui x -\- ni è co- 

 stante ed uguale allo zero, non si avrà che da aggiungere al- 

 ci - oD O 



n • T • x-*-m ^^ I I 



l indice o m y .t un valore costante di x-+-ni., per 



esempio «, e moltiplicare y .t per t per avere il ter- 



' x-it-m,n 



mine generale di un' altra funzione generatrice in cui x'-¥- m' 

 è pure costante ma = n. Ora questa operazione può indicar- 



