670 Sulle Funzioni Generatrici 



mostra, che la funzione generatrice di y ^ dipendentemente 



a! 



dalla l'unzione generatrice dell' integrale '2'/ v. u -\ -7— 



x,x' ' 

 H 7^ H %^ H ^ = ù essendo a , h\ e , ec. fun- 

 zioni arbitrarie di t. Adesso si rifletta, che la funzione gene- 

 ratrice di 2'jK , è 2 I -^j 1 j per ipotesi e per ciò che 



si è detto al numero i., e quindi zi— '/("T — ') ^ 



la funzione generatrice di / , •> ^^ quale si ridurrebbe all'e- 



pressione di lì se non si dovesse tener conto delle nuove fun- 

 zioni arbitrarie introdotte dalle integrazioni relative al segno 



2 . Quindi con discorso analogo a quello con cui si è trovato 



il valore di u rispetto^ ad u si troverà quello di zi- il X 



I -i Il rispetto ad z/', cioè sarà zi- i )(4 i j 



, a b € q a! V e' , a' 



.'1 ••■ 



\ essendo a, b, e. ec. funzioni arbi- 



a h e 



trarie di t'. 



5. Esposti i teoremi del Laplace con qualche illustrazio- 

 ne, prima di applicarli alla risoluzione delle equazioni alle dif- 

 ferenze parziali giova qui dar luogo ad alcune considerazioni 

 intorno alle funzioni generatrici di altre funzioni conosciute. 



Date le funzioni generatrici di due o più funzioni ad una 

 sola variabile può aversi facilmente la funzione generatrice 

 del prodotto. Se si indichi per (p{x) una funzione conosciuta di 

 X, e per (p'(x') una funzione pure conosciuta di x', si avrà 

 r equazione G ( (p{x). (p'{x') )=g{ (p{x)). g{ (p'{x') ). 



X 



Dìid^tio e^ienào g((p{x))z=(p[c).f-\-(p{\).t-^(p{-2).t'....-^(p{x).t -f- 

 ec, e g{(^\x)) = (p\o).t!'-^(p\i).t'-^<p\i).t'\...-^ <p\x').t'^ -^ ec. 



