Del Sic. Marchese Luigi Rangoki 671 



il prodotto delle due funzioni generatrici semplici sarà 



<p{o)(p'{o).t''t'° ■+-^(i)(p'{o).tt'° -+-(p{2.)(p'(o)t't''' -^<p{x)<p'{o)./ 1'" -t-ec. 



-^(p{o)<p'{i).t"t' -^-(p{i)(p'{ì).tt' -^^{tì.)(p'{ì).t'i' -+-(p{^)(p'{i)t'' t' -t-ec. 



-i-(p{c)(p'{x').t'>t''' ■+-<p{ì)<p'{x').t/ -i-<p{-i)(p'{x).ei'^ ...-»-(j5(x)(^'(x')A'''-t-ec. 



Ma se si pone (p{x)f'{x')=(p"{x^') sarà ancora (p{o)(p'(<j)^(p"{G,c), 

 (^(.j-)(^'(o)^(^"(j;^o), e viceversa <p(c)(p'{x') =(p"{c^x) ; dunque il 

 prodotto medesimo prenderà la forma seguente, cioè 



'"'•g(^"(^.o)K^'-g(^"(^.OM^g(<^"(*^'^))--+^'''-g(^"(^))+ec. 



clic è appunto la funzione generatrice a due variabili di 

 (p"{ x^ X ) cioè di (^(x)(^'(.r'). 



X x' 



Sia per esempio (p {x^ ■= a , (p' ^x ^ ■=h ,e trovate 

 che siano lo funzioni generatrici semplici di « , e di ^ si 

 avrà pure la funzione generatrice ài a h . Ora essendo 

 g ( a )=i-+- a^-t-a"^'-f-fl\^...-l-a ^ -t-ec. sarà atg{a )z=at -\- a't'^ 

 -Hfl^^^-1-ec. e quindi g(a ) — atg{a )=ì.jg(a )=—£—. Pertanto 



X I' 



G(« Z, ) = g{a)g{b )=_!_. _^. 



La regola fin qui data per trovare la funzione genera- 

 trice del prodotto di due variabili si estende pure alla ricer- 

 ca della funzione generatrice del prodotto di tre o più fun- 

 zioni di una sola, e diversa variabile. Sieno di fatto le tre 

 funzioni (p{x), (p'(x'), (p'[x''). Le rispettive funzioni generatri- 

 ci saranno 



j." (p{o).f -i-(p{^).t-^(p {a).t^-^(p {^).t^ ~h(p{x)/ -H ec. 



2." (p'{o).t'<'-^-f{i)t'^<p'{2.).t''-i-<p'{^).t'' -+-^'(x')./' ■+■ ec. 



3." (p"{oyf'"-i->p"{i).t"-^(p"{2).t"'-i-f{Ì).f' ^f{x").t"'"-+- ec. 



