672 Sulle Funzioni GENEnATRici 



Si vede quindi facilmente che rappresentando rispettivamen- 

 te (p{x).t , (p'{x').t' , (p"{x").t" il termine generale delle tre 



a a a .... 



sene j. , 2. , 3. , come nella loro moltiplicazione si ottiene 



il termine 'p{x)(p'{x')'p"[x").t t' t' , così si otterranno anche 

 tutti gli altri della stessa forma secondo le infinite combina- 

 zioni che possano prendere a tre a tre gli indici or, x , x' ai 

 quali si attribuiscano tutti i valori possibili in numeri interi. 

 Essendo questa pertanto la natura appunto della funzione ge- 

 neratrice a tre variabili, la quale è tale rispetto a qualunque 



prodotto della forma (p"\x,x' ,x").t i t" cui si riduce Tal- 



tra (p[x)(p\x')ip"{x").t t' t" , rimane dimostrato , che le fun- 

 zioni generatrici semplici di ciascuna funzione separata delle 

 tre variabili .r , x\ x" essendo insieme moltiplicate danno 

 la funzione generatrice del prodotto (p { x ) (p' { x ) (p" [ x" ). 

 Di qui si ricava anche 1' idea generale della funzione gene- 

 ratrice ad un qualunque numero di variabili. Essa di fatto 

 non è altro che quella serie infinita di cui è termine gene- 



rale (p[x.,x^x ....x ).t t t ....t in cui x, x^x ...x 



siano le viariabili , le quali col loro numero determinano il 

 grado della stessa funzione generatrice., e che ricevono tutti 

 i valori numerici possibili da zero inclusivamente alF infinito 

 combinandosi fra essi tali valori in tutti i modi possibili. 



6. Resta ora a vedersi come possa prendersi la funzione 

 generatrice a due variabili di (j){x) -+- (p\x). 



È opportuno qui di premettere una considerazione intor- 

 no alla funzione generatrice dell' unità ad una o piìi varia- 

 bili , per cui vuole intendersi quella funzione o serie or- 

 dinata secondo le potenze di t se trattasi di una sola va- 

 riabile, o secondo le potenze del prodotto di tt' t'. . . t con 

 tutte le combinazioni degli esponenti #, t\ t" ec. se trat- 

 tasi di più variabili, nella quale il coefficiente di t' ovvero 



