Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 673 



(m) 



di i i i" . . . . i sia r unità. Quindi tal funzione ge- 



neratrice sarà a cagione di g(a ) = -;—; espressa nel primo 



caso da -i- = i -4- < -t- «• -^ t -»r- ec.^ e negli altri da 



I— t ■ I— t' ■ 1— £" 



I— « 



7^j~" cioè dal prodotto di altrettan- 



te frazioni — i— , — i-;, — ^ ec. quante sieno le variabili che 



entrino nella funzione generatrice richiesta . A cagione d' e- 

 seaipio la funzione a due variabili generatrice dell' unità è 



I x' 



-i— . -^, ={i-\-t-h-t*-ht^...-i-t -t-ec.)(n-i'-4-£'»-H^'^..-+-i' -hec.) 



essendo appunto 1' unità il coefficiente di t £ in tale pro- 

 dotto. Ciò deducesi anche in altro modo dal già detto osser- 



, (m)° 



vando che i=a;'. x°. x" . . . x cioè, che 1' unità può con- 

 siderarsi come il prodotto di quante funzioni si voglia di di- 

 verse variabili, e perciò anche per essa vale la regola, che il 

 prodotto delle funzioni generatrici semplici di x°, x", x"°, ec. 



(m)"> , p . ..,„(, {">)* 



X sarà la funzione generatrice di x'.x'.x ...x .E poi 

 da notarsi , che per funzione generatrice semplice dell' uni- 



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tà può anche consideraisi più generalmente la frazione _Ì 



=* {i-i- i -i- t*-ht^-¥-ec. ), la quale ha luogo dipendentemente 

 dalle condizioni de' diversi problemi^ quando i coefficienti di 



tutte le potenze inferiori a t debbono annullarsi, e dalle equa- 

 zioni alle funzioni generatrici, che ne nascono. Pertanto il limite 

 inclusivo di w è m=o , ed allora la funzione generatrice è 



— ^ come prima. Sia per esempio in un problema da trovar- 

 si la funzione generatrice di / t . Se per le condizioni del 



X,0 



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