674 Sulle Funzioni GENERATfiici 



problema stesso la funzione y si annulla finché x abbia un 



ar,o 



X 



valore al di sotto di 77Z, allora la funzione generatrice diy i 



x,o 



è — , poiché dalla funzione generatrice semplice ed assolu- 



I— t '■ 



ta dell'unità quale può chiamarsi -^-ip sono da escludersi i 



termini da i fino a t , locchè appunto si eseguisce mol- 

 tiplicandola per t . Inoltre se una funzione 7 , comin- 

 ciasse ad essere uguale all' unità pe' valori di x = m, 

 x' = ni , la funzione generatrice di y sarebbe — . Jl 



X,X l—t I— J' 



(m m-i-i m-*-a \ / ,m' m'-t-t ,m'-»-i \ 



t -\-t -^ t -I- ec. j( i -J- i -Hi -(- ce. 1 



nella quale mancano i prodotti di due qualunque delle po- 

 tenze di i, i, i cui esponenti sieno rispettivamente minori 

 di 7re, e di m. Dopo ciò è facile a vedersi come possa tro- 

 varsi la funzione generatrice dell' unità a piij variabili in cor- 

 rispondenza di funzioni , le quali si riducano appunto all' u- 

 iiità per particolari supposizioni intorno alle variabili stesse. 

 Finalmente si possono ora applicare queste considerazio- 

 ni alla ricerca della funzione generatrice a due variabili di 

 una quantità della forma (p{x)-^(p\x'). Osservando pertanto che 

 (p[x)=^(p[x).x° , e (p'{x')=(p'{x).x''^ perciò che è stato superiormente 



dimostrato si vedrà essere Q{(p[x).x"')=s,{'p{x)).g[x'°)-=g[(p{x)).£^^ , 



e G ( ^' (x). a-^ ) = g ( <^{x) ). gl^") = g (^'(x')). _£_. Dunque la 



funzione generatrice richiesta saràg(^(x)). J — .-l-g(^'(x'))._Ì . 



Sia pertanto a cagion d'esempio l'espressione di cui si vuo- 

 le la funzione generatrice a due variabili x-Hst ; ed essendo 

 — ^ la funzione generatrice di x, —~t la funzione genera- 



3' . . . . , t 



ti-ice di a 5 la richiesta a due variabili sarà | - _^ ., 



I— 1' 



