t'^ 



Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 675 



indicando al solito per m , ni gli esponenti 



I — 21 ,_t 



rispettivi di t , t\ che convengono alla funzione generatrice 

 semplice dell'unità nelle particolari condizioni del problema a 

 cui esse si riferiscono. 



Una regola analoga servirà per trovare la funzione gene- 

 ratrice a tre variabili per un prodotto o per la somma di due 

 funzioni ad una sola e diversa variabile, od anche di una sola 

 funzione di una variabile qualunque, giacché nel primo caso 

 basterà moltiplicare la funzione generatrice a due variabili del 

 supposto prodotto o somma per la funzione generatrice sem- 

 plice dell'unità dipendente da una terza variabile, e nell'al- 

 tro caso la generatrice della funzione ad una sola variabile , 

 che si suppone sviluppata secondo le potenze di t , ver- 

 rà moltiplicata pel prodotto di due funzioni generatrici del- 

 l' unità rispettivamente sviluppabili per le potenze di t\ e 



di t" . Così la funzione generatrice a tre vai'iabili di xx sa- 



t"'"" 11 J- ' t t /m' 



l ; quella di x-^x sarà I . J 



-\ ^—T- . J. I . IL , siccome la funzione generatrice a tre 



(1— ' )^ i—t I i—t" ' ^ 



variabili della sola x sarà : . J — . i 



e— ^)' i—t' i—t" 



Queste operazioni come è facile a rilevarsi rendono omo- 

 genee le funzioni generatrici de' due membri di un' equazio- 

 ne alle differenze finite e parziali, quando il secondo di essa 

 contenga in tutti o in alcuno de' suoi termini qualche fun- 

 zione di un numero di variabili minore di quello che ne con- 

 tengono i termini del primo membro. 



7. Si può ora con molta semplicità dichiarare la dottri- 

 na della risoluzione delle equazioni lineari alle differenze fi- 

 nite e parziali a due variabili, e di qualunque ordine coi coef- 

 ficienti costanti. 



Sia quindi primieramente 1' equazione y , = v/ , , 



X^X X X 



ra 



(i—tf (I— <> 



