676 Sulle Funzioni Generatrici 



in cui la funzione vr , abbia lo stesso senso, che le fu at- 



x,x 



tribuito al num. a. cioè rappresenti una funzione di tal for- 

 ma^ che essa nella totalità de' suoi termini comprendere pos- 

 sa tutte le variazioni di x combinate con quelle di x' nella 

 funzione 7 cosicché ognuna delle predette variazioni di 



x,x' 



y sia moltiplicata per un coefficiente che si annulli man- 

 x,x' 



cando in ''^y ^ la corrispondente combinazione . Ciò posto 

 essendo ( num. i. ) u la funzione generatiice di y sarà pel 



^ x,x' 



num. a. z^[(a-h-2- -h ^ -4- ec. )-*- ^-(b'-h-^ -4- -E. h_ ec. ) 



.^ Jj.(C"-i-— — hec.) I la funzione generatrice di yj . 



Perciò qualora 1' equazione proposta si verificasse per qualun- 

 que valore di x- , x vi sarebbe pure equazione fra le dette 

 due funzioni generatrici. Siccome però accade che per alcuno 

 dei valori medesimi l'equazione proposta piìi non sussiste, comin- 

 ciando essa soltanto a valere quando a cagion d'esempio x= w, 

 a' = m' , e potendosi d' altronde dalle condizioni de' proble- 

 mi particolari ricavare i valori di y , 7 JK , •> 7 , 5 



* 771, ni ra — I .m m,m—t 



Y ec. ed i corrispondenti dei termini di yy , 



•^m— j,to'— I "^ rn,7n' 



Vy ■> Vy •> V/ ^^- ^^ "^ inferisce che de- 



771— 1, 771' m.m'' — I m — i m' — r 



notando per lì la somma delle funzioni generatrici di 7 , 

 y , y ec, e per it." la somma delle funzioni genera- 



m—l,m' 777,77!'—! 



trici di vr . ■> Vy ■> Vy , ec. si avrà 1' equazione 



m.,m m—i,m' m ,m — i 



^,_z/=«[(A-H 4--H -£-+ec.)^-f (b'-h-^-^ ^-4-ec. ) 



-^- A-A G" -H-^-H ec. j I — u", dalla quale si deduce il va- 

 lore generale di u , che sviluppato secondo le potenze di 

 ^, t' insieme moltiplicate darà nel coefficiente ai i i il va- 



