Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 677 



lore ricercato di y . Intanto è da notarsi che quantunque 



x,x' 



in una equazione alle differenze parziali il secondo membro 

 possa sempre ridursi alla forma assegnata per VX , facendo 



crescere opportunamente le variabili di una più unità, pu- 

 re riesce spesso più semplice il lasciarvi sussistere gli indici 

 minori di x, o di x che talvolta vi si incontrano, e che ren- 

 dono perciò il detto secondo membro per se non riferibile 

 all' espressione di yj ^ . Ogni qualvolta ciò abbia luogo, la 



funzione generatrice del secondo membro si avrà dipenden- 

 temente da u prendendo la somma delle funzioni generatrici 

 di ciascun termine di esso , e rammentando che in generale 



la funzione generatrice di Tr è Tut .t , essendo 



T il coefficiente di un termine qualunque, ed u la funzione 

 generatrice di y . Del resto il metodo per i-isolvere l'equazione 



rimane lo stesso di quello che si è poc'anzi accennato^, il quale 

 richiede come meglio si vedrà nelle applicazioni, il frequente 

 passaggio dai coefficienti alle funzioni generatrici per quelle 

 ipotesi de' valori di x, x ne' quali 1' equazione che viene in 

 qualunque de' sopradetti modi proposta non si verifica. 



Un metodo pure affatto simile servirà per risolvere 1' e- 

 quazione y =VJ , -i- X , esprimendo per X una funzione 



qualunque di x, x\ ovvero l'equazione y ='V7 ~+~^ qualora 



x,x' x.x' 



V7 non si riduca per se alla forma attribuita a \7y , , 



X .X' '■ X .X 



cioè contenga nelle variazioni di y qualche indice minore 



x.x' 



di x, o di x. Di fatto nell'un caso e nell'altro consideran- 

 do u come la funzione. generatrice di y , si troverà facil- 



x,x' 



mente la somma delle funzioni generatrici de' termini di 

 V7 , , o di 'vy , la quale unita alla funzione generatrice 



x.x x,x' 



di X dovrebbe uguagliarsi ad u^ qualora per qualunque valo- 

 re di x, x r equazione potesse verificarsi . Però essendovi va- 



