. 690 Sulle Funzioni Generatrici 



z={i—pt)i( I -H t-^ t^-^ t^-^ec. ) ( ( I —pt) -t-{ I —jjt )"^qt' 



H- ( I —pt ) qH'''-\-GC.)=z [t H- e-^ t^-^ ec. )( i -t- ( I — joi ) \t' 



—2 — x' 3^' x' 



-f-(i— /;?) ^Y*. . . .H-(i— /?^) ^ i -Hec). Pertanto siccome la 

 potenza t non può entrare che nella sola parte (i-t-i*-t-i'-»-ec.)X 



x' x' x' 



(i—pi) q t' della precedente espressione^, sarà il ricerca- 



nn ■ . ^- ^ '^' ■ ' ^' ì • x'ix'-i-t) 



to coeihciente ai t i cioè / =q I i ■+■ px -\ ^ /»' 



2..6 -" 2.^.4.. ..(r—i) ■» y I 



— x' 



tutti i termini dello sviluppo di (i — pt) fino a quello iri- 



X — I 



elusivamente che contiene la potenza t , e fatto dopo 

 i= I. 



Coir altro problema sopraccennato domandasi la probabi- 

 lità che compete ad un giuocatore che scommette di ottene- 

 re un dato evento x volte almeno in un numero x di colpì 

 per guadagnare con ciò la partita , essendo p la probabilità 

 favorevole all' evento semplice^ e quindi i — p la probabilità 

 contraria . Secondo queste condizioni e denominazioni si ha 

 y "=■ py -t-(i — p]y ■ Quindi riguardata al solito u 



come funzione generatrice dì y sarà oM^i'-l-( 1 — 7?)mì la fun- 



x,x' 



zione generatrice del secondo membro di questa equazione. 

 Per trovare il valore di u deesi primieramente osservare, che 

 quando x'=:o , j =1, poiché quando rimanendo ancora x 



X,0 



colpì da provarsi non resta più oltre da condursi il dato even- 

 to favorevole al giuocatore, questi ha già la certezza dell'aver 

 vinto . Ciò vale eziandio nella supposizione di :i; = o cioè 



y =1, poiché il giuocatore ha vinto del pari quando né re- 



0,0 



stano più colpi da farsi né dee più condursi il dato evento. 

 Non verificandosi pertanto l' equazione proposta qualunque 

 volta sia x=zo restando x indeterminata , e d' altronde man- 



