Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 691 



canalone tutti i termini rispetto alle funzioni generatrici quando 

 sia x=o, onde / =0 supposto a;'>o, saranno da prendersi, e da 



sottrarsi rispettivamente dalle funzioni generatrici de' due mem- 

 bri dell'equazione quelle di y = i,edi(i — p)/ =1— » cioè 



X,0 X — 1,0 



_i_e ^''~^ - ^ Così si avrà l'equazione ii ^=putt'-h-{i—p)ut 



_ l!r:£) onde u =-, '~'^'7^ -^ ^, = {i ^t-i-t'-i-t^-^ ec.) X 



((1—^(1 — ^))((i_(i —p)t)—ptt)~'= ( I -^t-^t'-\- f-¥- ec.)X 



(1 -4- ( I _ ( I _ p ) tY'ptt'^ (1 — ( I —p ) t)'"'pHH'^ 



-h(i — {i—p)i) p t t -Hec.j -Ora si vede, che il coefficiente 



X x' 



di t t' in questa espressione non può essere che il coefficien- 

 te di i in { I -H f -H i' -+- i(5 -I- ec. )( I — ( I —p)t) p t 

 ={t -ht -t-ec.)(i — (i— Z*)^) P • Ora questo si ha svolgen- 

 do l'espressione (i — (i — p)t) p , e separando da essa tutti 



x—x' 



i termini che contengono le potenze di t fino a t inclu- 



sivaraente , e fatto nel risultato t = 1 . Cosi si troverà 



^'/ / ^ ' a:'(x'-l-i) / \j . i'(x'-f-i)(i'-l-2) /, xj 



/^ .,=/' (i-4-(i_p)x H L__L (i-/7)'-t- -i— ^^3 (i-^)^ .... 



x.x 



-+- ^V-H'l(^'-H^)...(x— ) (i_«f ^). È manifesto di fatto, che eia- 



scuna potenza di t nello sviluppo di (r — (i — p)t) dovendo 

 essere moltiplicata per una potenza della stessa t non mai mino- 



x' X 



re di t ,per avere il coefficiente di t debbono escludersi 

 dai termini da prendersi per determinarlo quelli che conten- 



gono una potenza di t maggiore di t 



12. Trattasi ora di applicare l'esposto metodo anche a 

 qualche problema direttamente relativo alle serie recurro-re- 

 currentì , che come si sa dipendono dalle equazioni a diffe- 

 renze parziali. • 



