696 Sulle Funzioni Generatrici 

 trici dei termini della nostra equazione, e rappresentando al 

 solito per II la funzione generatrice di / , si avrà u tt' 



z=.%ut' -^2.utt' esienào y tt' il solo termine di u che turbi 1' e- 

 quazione fra i termini corrispondenti delle funzioni genera- 

 trici . Quindi sarà pure z<= _ 7_^ , ^ tt' { i — 2.t'{i -{-t))~' 

 = tt'{i -+-at'{i -i-t)-^a't''{ i-^ty-^-^^t'^ (i-^tf 



x' 1 ,x'—i x' — I 



-H 2, t (i-H^) -+- ec. ). Pertanto, come è facile a ve- 

 dersi, il ricercato coefficiente di t t' non può essere che quel- 



, ,. X — I . x' — r ,.T— I a;'— I / / f u ' \ 



lo di « in li (i-ht) =2 /i-4-(a;'-i)^-H'-^ "'•'"'^ t' 



) 



y =:2,^. — "— ■=. qóo pure come nella tavola. 



_^ (^'-,)(y-2)(a:'-3) 3 (,r'-i)(,r'-.fl)( x'-3)....(:r'-x-l-i) /-' 



^ TJT ^--"^ \.^.i....(x~^) * ■^^'^ 



r. , *'"' (x'—i)(x'—2.){x'—%] (x'—x-i-i) 



Dunque sarà y =2. ^ '\ — j ' . 



Sia ora x=$, :i:'=6, e si troverà y = °' -''•^■^■a. _ ^^^ 



come nella tavola. Similmente abbiasi x =■ 3 , x = "j e sarà 



6.5 



= ■2". - 



È opportuno da ultimo di osservare , che 1' espressione 

 trovata di / ^ non può valere se non fino a tanto che x 



non sìa >• x' come d' altronde poi'ta la natura della serie, in 

 cui sono nulli come rilevasi anche dal la tavola tutti i ter- 

 mini relativamente ai quali l'indice x è "^x. Nel caso poi 

 di x=x^ I apparisce dallo sviluppo della funzione u essere 

 y =1, poiché in esso appunto l'unità è il coefficiente di ?i'. 



14. Seguendo il piano tracciato anche nella prima me- 

 moria cade qui in acconcio di risolvere un altro problema re- 

 lativo in qualche modo alla partizione de' numeri. 



Sia proposto perciò di determinare in quanti modi possa 

 il numero x essere la somma degli esponenti di x lettere a, 

 b, e, d, ec. innalzate a potenza ed insieme moltiplicate. 



