Del Sig. Marchese Luigi RangoxNi 697 



Rappresentando per 7 , il numero ricercato , y 



esprimerà il numero delle maniere nelle quali la somma di 

 tali esponenti riesce = x tenendo fermo in una data lettera 

 l'esponente m^ essendo m qualunque numero intero. Di qui 

 nasce l'equazione del problema nella supposizione, che fra 

 gli esponenti delle diverse lettere non debba aver luogo lo zero^ 

 cioè y z=y -+-Y , -^ 7 , ^ -^ ^^- «vvero 



X,x' X 1 ,!■' 1 X \,X 2 X—\,X 



y =2 Y -f-y -+-/ -H fic-1 e perciò 



:r,x' — I " -r — i x'— 2 x — i ,x — 3 x — ^ x' — 4 



y ■=z Y -t-y come con altro metodo trovò il 



x,x' X — l,x'— I x^x'—i 



Brunacci (i). 



Se fra gli esponenti delle lettere si ammetta anche lo zero, 

 fatto m=o, TO=i, m=2, ec. nel simbolo/ si troverà 



X — l.x' — m, 



per questo caso y =y -i-y . "+"7 , -4- fic. 



' ^ x,x' x—i,x' ^ x—l,x—\ -T— i,ar'— 2 



y =y -^ y "+"J , a "•" ^*"-'' ® quindi 



x,x' — I x—i,x'-~ì X — i,x' — 2 X — i,x' — 3 



7 ,=y ,-+-7 , • 



X ,x x—\,x x,x — I 



Frattanto considerata l'equazione y ==y -hy •> 



X,x' X 1,3-' 1 X.,X' 1 



ed essendo u la funzione generatrice di y sarà utt'-^iit 



x,x 



quella di y H- y . Ora supposto .r =o sarà y = o, 



X — i.x' — ! x,x' 1 x.o 



poiché è chiaro che la somnia di es[)onenti maggiori di zero 

 non può essere zero, e V equazione proposta in questa ipote- 

 si svanisce, come accade pure in quella di a; = o essendo 

 y =o, non potendo essere zero il numero delle lettere. Inol- 



t>,x' 



tre si ha pure, fatto x^\., y =o qualunque volta non sia 



X^l 



x^=\,. poiché la somma degli esponenti di più lettere, i (|uar 



li si suppongono non minori di i non può essere i . E però 



y =1, e non sussistendo allora l'equazione proposta dovrà 

 I.» 



(i) V. Brunacci. Opera, e Volume sopracitati pag. igS. e seg. 



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