(jg8 ■ Sulle Funzioni Generatrici 



sottrarsi da u il termine y tt' = tt\ e si avrà 1' equazione 



tt' 



u—tt'=utt'-^iit' onde u— ,_,,^^j^, =^tt\\-^{i->r-t)t'-^{i-^-tYt-' 



x' — I ,a'— I 



-(-(i-H/)V^ ...-)-( 1-1-^) t -I- ec. ). Dunque il coefficiente 



X — I 



di t' in u sarà /(n-^) == ^ ( i -i- ( x' — i )^-h 



(x'—,)(x'—i) 



(x'-,)(x'-^){x'- 3) ^3_^_ (x'-i){x--2)(x'-ì)...(x'-(x-i)) ,-'^— ^ ^_^^ 

 i.a.ò ' ' ' t.2.i....{x — i) 



X ,x 



E quindi il coefficiente di t t' ovvero Xx,x sarà 



^ (^'-,X.-'-.)(x'-3)....(y-.r^.) ^^,^^^ ^j.^^^ ij Brunacci. 



i.a.ò....(x— 1) i 



Considerata ora l'equazione r =y -t-y , la 



x,x' X — i;X x,x — I 



quale esprime le condizioni del problema quando fra gli espo- 

 nenti delle lettere si ammetta anche lo zero , si vede facil- 

 mente^ che essa sussiste finché non sia .r'=o, giacché in que- 

 sto caso si ha 7 =i posto x- >■ i essendo evidente potersi 



X ,0 



avere la somma zero degli esponenti però in un modo solo 

 quando in ciascuna delle x lettere V esponente sia zero . E 

 poiché anche y =i, posto x>i^ ne segue, che la funzione 



generatrice di y é -^— , e quella di / è . Si ve- 



° x,o ' — <■ X 1,0 ' — ' 



drà quindi facilmente essere 1' equazione tra le funzioni gene- 

 ratrici u ^ = ut-^ut'— -^ , onde u= t{ \ —{t^t')) 



x' 



-^i(^i^(^i^t')-^{t-^-t'Y-i-{t-\-t'Y...-i-{t-^t') -+-ec.), dal che si rile- 



r x' 



va che il coefficiente di t t' in questa espressione di u non 



x—i ,x' . x'^x—i ,x'-t-x—i 



può essere che quello di ^ t m ( t -i- t ) = t 



I • \ ^V^'"^""""^ _^ ( j:'^x—,)(x'-t-x—2) a ,^'-*-^-^ 

 -^ { X -¥- X — l ) tt ■+- — t t 



x' ^ X — 1 ) [ x' -^- X — a) ( j' -)- X — 3 ) 3 .r^'-+-^— 4 

 — TZl. * 



