Del Sig. Marchese Luigi Rangoni 699 



(x--Hr- ) ( y-.-. ) (r'^r-i ^-,) ) ^— /^ Duiique y 



1.^ ( X — I ; 1 -^^r.sr' 



(j' -f-x— i)(y-t-r— 2)(j'-t-r— :j)....(j'-»-j)(j'-Hi) 



l.il. ò (X — 1) 



Si ponga per esempio x=^^ x'=6 si avrà da questa for- 

 mola r = — — ~- = oA. 



i5. Non essendosi fin qui risolute equazioni alle differen- 

 ze parziali contenenti funzioni conosciute di x e di x', è quin- 

 di opportuno di dar luogo a qualche esempio anche intorno 

 a queste. 



Sia perciò l'equazione r — y = xx\ la quale 



x,x' x—i,x' — I 



esprime le condizioni di una serie in cui un termine qualunque 

 considerato come funzione degli indici r, x' eguaglia il prodotto 

 di questi accresciuto del termine che è funzione degli indici 

 stessi diminuiti ciascuno di un'unità. Ciò posto se si suppone 

 inoltre y =y =0 anche quando x=c ovvero x=o, essen- 



■' X ,0 o,x 



do al solito u la funzione generatrice di / si avrà l'equa- 



x,x' 



zione II — utt = -, — ( num. .j. ) , ed uz= ■ _, 



=(«'-H P^'"-f-ifV^-Hec.)( I -f-o^H-S/^" -+-(.r— 2)/~ ^[x—\)t"~^ 



-^xt -t-ec.)(i-+-i^'-i-''^'''-f-ec.). Quindi il coefficiente di t in 



questa espressione sarà {xt'-ir-[x — i )/^'^-f-(x — ù.)t^ -^t )(n-2i' 



H-3^''-Hec.), e da esso si ricaverà il coefficiente di t' , o ciò che 



X X 



è lo stesso nel presente caso il coefficiente di / ?' , il quale 

 risulta ^ 



Xx'-\-{x ])[x' l)~*"(-^ -)(-*^' ^) • • • ~^{-^' x'-lr-ì).l. 



Per applicare questa formola a qualche esempio si pon- 

 ga x=x'=4, sarà j = i6-+-9-h4-4-i=.3o, y = 9-+.4-+- 1 = 1 4 , 

 4,4 ■'ì'j 



valori che rendono per l'appunto identica 1' equazione pro- 

 posta . Sia per un' altro esempio x ^ 6 , x' = 3 si avrà 

 y — / ^32. — [4= 18 come dev'essere. • 



6,3 5,2 



