I70O Sulle Funzioni Generatrici 



Se invece eli supporre y = y comprensivamente ad 



o,x 



m 



Y :=o si pone y =y ^m comprensivamente ad y = 

 essendo ni un numero intero qualunque dato, non si avrebbe 

 più r equazione u — utt' = (,_/,|,_,,,. • Di fatto nella nuo- 

 va ipotesi si vede facilmente che è d' uopo sottrarre da u i 

 termini che non verificano l'equazione proposta corrisponden- 

 ti a tutti i valori di y •> 7 , quali si hanno appunto dalle 



X,0 0,T. 



due funzioni -^ , -^ generatrici di m. Ma siccome sottraen- 



do queste due funzioni da u se ne leverebbe due volte il ter- 

 mine y dipendente tanto dalla ipotesi di x=o in y quan- 



0,0 ^!° 



to da quella di x=o in y ,, per toglierlo una volta sola è 



d'uopo moltiplicare per t o per t' rispettivamente una delle 



due funzioni -^, — ^ ed allora sottrarre la somma da u. 

 I — t I — t 



tt' mt 



Cosi pertanto si avrà u = ^,_,),^,_,,^.(._,,, ^ -^- (,-t)(x-u') 



_i ^ -^ e per determinare il coefficiente di t t' si dovrà 



aggiungere all' espressione già trovata per y , nella precedente 



ipotesi quella di t""/ in / ^^ -+- ji^^ ) • tÌf " ^'"^ '' ^^^^' 



olente di t^ in ^ . -^ = mt{i-\-t-ht'-^-ec. ) ( i -^tt'-^t't'^ 



^tH''-h ec.) è m{i-i-t'-^ t'^-^t"... . t'"""} = "-^^ , e 



quello di / in ^ . -^ = -^i I -^tt'-^ef^-^ th'-^ec. ) 



è ""'^. . Dunque essendo M^-t''' ) ^_ ^^i^ = " il coeffi- 

 i—t' ^ '— '' '-« '~* 



(\ X X 



-^ _H ^ j -^ , quello di t t' in questa 



